Стример Саффмана-Тейлора. 
Распространение и ветвление стримеров в проводящих средах

Рассмотрим распространение стримера в газовой среде в однородном электрическом поле. Используем стандартную модель стримера в газовых разрядах [1−4], которую модифицируем с учетом диффузии электрического поля и ионов, имеем [10].

(1).

Здесь обозначено — плотность электронов, ионов и электрического поля соответственно, — коэффициенты диффузии, — параметр подвижности ионов. В качестве параметра длины в модели (1) используется длина свободного пробега электронов в азоте при нормальном давлении — (2.3 мкм). Масштаб времени составляет 3 пикосекунды, а масштаб электрического поля — [4]. Характерный масштаб плотности электронов составляет в таком случае .

Поясним происхождение третьего уравнения (3). Выражение в скобках в случае электростатического поля тождественно обращается в ноль. Однако при наличии вихревой составляющей поля в случае длинных волн, из уравнений Максвелла и закона Ома следует уравнение диффузии векторного потенциала.

(2).

Сравнивая (2) с третьим уравнением (1), находим .

Модель (1) тестировалась на плоских и трехмерных задачах моделирования стримеров Саффмана-Тейлора [4, 11] в однородном электрическом поле [10].

Задача для системы (1) решалась численно, в прямоугольной области, с нулевыми начальными данными и с граничными условиями:

В случае решения плоской задачи полагаем в условиях (3) и исключаем граничные условия при .

На рис. 1−2 представлены результаты расчетов электронной плотности по модели (1), (3) при следующих параметрах задачи:

. (4).

На рис. 1 представлены данные по распределению электронной плотности в различные моменты времени в сечении. Из этих данных следует, что стример распространяется со средней скоростью, тогда как в теории стримеров Саффмана-Тейлора [4, 11] скорость равна удвоенной величине внешнего поля, т. е. .

Линия раздела плотности в теории [11] описывается уравнением:

(5).

Как было установлено в экспериментах [11], параметр, хотя в теории этот параметр может принимать любое значение в зависимости от скорости .

Рис. 1. Плотность электронов в плоскости в различные моменты времени (указаны над рисунками).

На рис. 2 показаны уровни плотности электронов в момент соударения стримера с плоскостью, вычисленные в двумерной (справа) и в трехмерной модели (справа), вместе с линией, рассчитанной по уравнению (5) при .

Из этих данных следует, что распределение плотности электронов в 2D и 3D моделях отличается несущественно. Геометрия стримера в модели (1) не совпадает в деталях с геометрией стримера Саффмана-Тейлора, что объясняется малой длиной канала. Действительно, при увеличении длины канала в 2 раза наблюдается практически идеальное совпадение кривой (5) с линиями уровня плотности электронов в момент соударения стримера с плоскостью рис. 3.

Это совпадение можно считать достаточным аргументом в пользу модели (1), которая выведена из модели [4] путем ее расширения с учетом вихревой составляющей электрического поля и диффузионных потоков ионов. Отметим, что хотя выражение (5) используется в теории стримеров [4], модель «пальцев» [11], образующихся при вдувании воздуха в глицерин или при проникновении воды в масло математически не идентична модели (1). Поэтому необходимо пояснить факт совпадения формы стримера с теорией Саффмана-Тейлора [11] - рис. 3.

Рис. 3. Линии уровня плотности электронов при распространении стримера в длинном канале.

Рассмотрим аналитическую модель распространения стримера в заданном внешнем поле. Положим в уравнениях (1) все величины зависящими от переменных, тогда система (1) приводится к виду.

(6).

Здесь оператор. Стример Саффмана-Тейлора это плоское линейное решение первого уравнения (6). Полагая в этом уравнении электрическое поле постоянным, ищем решение в виде.

(7).

Подставляя (7) в первое уравнение (6), находим дисперсионное соотношение.

(8).

Предполагая, что линия раздела электронной плотности определяется из уравнения, находим из первого уравнения путем логарифмирования уравнение линии раздела плотности.

(9).

Выражение (9) только нормировкой отличается от выражения (5). Однако скорость стримера в модели (6) в общем случае не совпадает со скоростью «пальцев» в теории [11]. Из уравнения (8) следует, что скорость стримера зависит от параметра диффузии и от скорости ионизации. Действительно, при совпадении формы стримера на рис. 3 имеем скорость, вместо теоретической величины. Ранее аналогичные результаты были получены в работе [4], в которой модель стримера Саффмана-Тейлора была использована для нахождения режимов движения с постоянной скоростью и ветвления в 2D.

Ниже решена аналогичная задача в трехмерном случае.