Законы распределения дискретной случайной величины

Изменение дискретной величины X задается в табличной форме: определенному значению x_j соответствует вероятность р_{ (табл. 1).

Таблица 1.

Соответствие значений случайной величины вероятностям

Наиболее часто используют три закона распределения — биномиальное, Пуассона и гипергеометрическое [20].

Биномиальное распределение

Биномиальный закон распределения используется для определения вероятности наступления некоторого события X целочисленных т раз в п независимых испытаниях, выполняемых в одинаковых условиях.

где р — вероятность того, что фиксируемое событие произойдет; q — вероятность того, что фиксируемое событие не произойдет; С™ — число сочетаний из п элементов по т

Закон распределения считается заданным, если известны параметры п и р (табл. 2), т. к. согласно теории суммы вероятностей сумма вероятностей противоположных событий равна единице [15].

Таблица 2.

Варианты значений вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия определяются следующим образом:

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы, других областях [16].

Пример

В партии однотипных деталей стандартные составляют 95%. Наугад из партии берут 500 деталей. Определить математическое ожидание М (х), дисперсию D (x) и среднеквадратичное отклонение а (х) для дискретной случайной величины X (появление числа стандартных деталей среди 500).

Решение

Случайная величина X имеет биномиальный закон распределения вероятностей и может принимать значения х-т = 0,1,500. Вероятности возможных значений для данной задачи определяются по формулам (15), (16):

где р — вероятность появления стандартной детали, р — 0,95; где q — вероятность появления нестандартной детали, q — 0,05.

Согласно формулам (13, 17, 18) определяем нужные величины:

Закон распределения Пуассона

Закон распределения Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время с некоторым фиксированным значением параметра распределения. Вероятность успешных испытаний.

где е — основание натурального логарифма, равное 2,71 828; т — количество успехов в единицу времени; X — параметр распределения (ожидаемое количество успехов).

X = пр,

где п — общее количество испытаний; р — вероятность появления успеха (ожидаемого события).

Табличная форма закона распределения приведена ниже (табл. 3). Математическое ожидание и дисперсия:

Варианты значений вероятностей.

Распределение Пуассона используется при определении числа сбоев на автоматической линии, числа отказов сложной системы, анализе результатов маркетинговых исследований потребителей, расчете характеристик планов статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности^[1], для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса, статистических закономерностей несчастных случаев и т. д. [20].

Пример

В результате проверки 1000 партий одинаковых изделий получено распределение количества бракованных изделий в партии (табл. 4).

Таблица 4.

Результаты статической обработки

Определить математическое ожидание М (х), дисперсию Z)(x) и среднеквадратичное отклонение с (х), для дискретной случайной величины X (появление бракованных деталей).

Решение

Определим параметр распределения — среднее число бракованных изделий в партиях:

По формулам (13, 20, 21) найдем соответствующие величины:

Гипергеометрическое распределение

Данное распределение типично для выборочного контроля качества продукции по альтернативному признаку. Генеральной совокупностью в этом случае является контролируемая партия продукции, в которой т единиц продукции не соответствуют определенному показателю. Вероятность того, что в выборке объемом п будет обнаружено ровно т несоответствующих изделий, определяется соотношением (22).

где X— дискретная величина со значениями 0, 1, 2, …, т, …, М N и п — объем партии и выборки; Мит- количество дефектных единиц продукции в партии и выборке; - число сочетаний из М по т

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по приведенным ниже формулам:

Данное распределение широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочного обследования, и др.

Пример

В ящике содержится 50 деталей из двух серий, из них 25 — из второй серии. Наугад из ящика берут 5 деталей. Какова вероятность того, что среди них 4 детали окажутся из второй серии?

Решение

Для выбора пяти деталей начальными условиями станут:

Согласно (22) решение примет вид

• [1] Максимальный уровень дефектности для одиночных партий или средний уровеньдля последовательности партий, который для целей приемки продукции рассматривается как удовлетворительный.