Признаки сравнения для неотрицательных функций

Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам. Тогда:

если сходится интеграл, то сходится интеграл; если расходится интеграл, то расходится интеграл .

В качестве «стандартного» интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа. Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если :

.

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный.

.

Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Сравнение интеграла со «стандартным» интегралом в предельной форме даёт правило: если при неотрицательная функция f(x) — бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с, то сходится; если f(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится.

Пример 1:. Так как при.

.

и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится;

Пример 2:. При.

.

p = 1, интеграл расходится;

Пример 4:. При.

.

интеграл расходится;

Пример 5:. При.

.

интеграл расходится.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (12.1.4), а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл, и условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится (если сходится, то тоже обязательно сходится).

Пример 1: Исследовать на сходимость интеграл:

.

то исходный интеграл сходится абсолютно.

При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:

Признак Дирихле. Интеграл сходится, если:

• 1) функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b];
• 2) функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём

.

Признак Абеля. Интеграл сходится, если:

• 1) функция f(x) непрерывна на (a, b]и интеграл сходится;
• 2) функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:

.