Отношение доминирования по Парето. 
Парето-оптимальность

Как было сказано раньше для всякого решения XD набор его оценок по всем критериям, т. е. набор (F₁(X), F₂(X),.. ., Fm (X)), есть векторная оценка решения X. Векторная оценка X содержит полную информацию о ценности (полезности) этого решения для ЛПР и сравнение любых двух решений заменяется сравнение их векторных оценок. Пусть в МЗО требуется получить меньшие значения каждого частного критерия (минимизировать частные критерии) Fi (X).

Опр. Пусть имеются два решения X₁ и X₂. Говорят, что решение X₁ лучше (предпочтительнее, эффективнее, доминирует) решения X₂, если F_i(X₁)<=F_i(X₂) для всех i=1,m, и хотя бы для одного j — го критерия выполняется строгое неравенство F_i(X₁)i (X₂). или.

Опр. Решение X₂ называется доминируемым, если существует решение X₁, не хуже чем X₂, т. е. для любой оптимизируемой функции Fi, I=1, 2, …, m,.

Fi (X₂)Fi (X₁) при максимизации функции Fi,

Fi (X₂)Fi (X₁) при минимизации Fi.

В случае доминирования при переходе от X₂ к X₁ ничего не будет проиграно ни по одному из частных критериев, но в отношении j — го частного критерия точно будет получен выигрыш. Говорят, что решение X₁ лучше (предпочтительнее) решения X₂.

Опр. Стратегия X₁D называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует стратегии X₂D такой, что Fi (X₂) Fi (X₁), i=1,.. ., m, F (X₂)F (X₁), или

Опр. Если решение не доминируемо никаким другим решением, то оно называется недоминируемым или оптимальным в смысле Парето.

Очевидно, тогда в составе множества D нет смысла сохранять решение X₂, оно вытесняется (или, как говорят, «доминируется») решением X₁. Ладно, выбросим, решение X₂ как неконкурентоспособное и перейдём к сравнению других решений по всем критериям. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество D обычно сильно уменьшается: в нём сохраняются только так называемые эффективные (иначе «паретовские») решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения. Множество таких точек и называется множеством точек оптимальных по Парето. Множество точек оптимальных по Парето лежат между точками оптимумов, полученных при решении задачи математического программирования для каждого частного критерия. В литературе множество точек оптимальных по Парето, как правило, обозначают буквой P (PD).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству эффективных точек, называют областью компромиссов (переговорным множеством) или множеством Парето в области критериев. Будем обозначать Y_P (Y_P Y_D).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству неэффективных точек (доминируемых решений), называют областью согласия Y_c.

В области Y_c нет противоречия между частными критериями оптимальности, т.к. каждая точка XD может быть изменена таким образом, что будет одновременно улучшены все частные критерии.

Если область критериев Y_D состоит только из области согласия Y_c, то существует единственная точка X_optD, в которой все частные критерии согласованны между собой в том смысле, что при движении к точке X_opt все F_i(X) i=1, 2,.. ., m, одновременно улучшаются. Все частные критерии достигают минимума в т. X_opt (см. рис. 1). Такую точку называют оптимальным решение и при этом значения всех частных критериев достигают в ней минимума.

Однако такая ситуация встречается крайне редко. Наиболее типичным является случай, когда частные критерии являются противоречивыми и минимум по каждому из них достигается в различных точках. В этом случае уменьшение одного частного критерия приводит к увеличению других частных критериев (рис. 2).

Рис. 2. Критерии F₁ и F₂ противоречивы на отрезке [1; 2]

Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше улучшать значение одного критерия, не ухудшая при этом хотя бы одного из остальных.

Проиллюстрируем приём выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество D состоит из 11 возможных решений. Каждому решению соответствуют определённые значения показателей F₁ и F₂. Пусть имеются следующие векторные оценки: F (X₁)=(2;4), F (X₂)=(3;5), F (X₃)=(3;3), F (X₄)=(5;2), F (X₅)=(4;3), F (X₆)=(1;3), F (X₇)=(2;3), F (X₈)=(3;2), F (X₉)=(2;2), F (X₁₀)=(3;1), F (X₁₁)=(2;1). Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия F₁, а по оси ординат — значения критерия F₂). Используем принцип оптимальности по Парето для выделения эффективных решений. Решение X₁ вытесняется решением X₂, решение X₂ лучше решений X₃, X₇, X₈, X₉, X₁₀ и X₁₁. Решение X₄ по первому критерию лучше решения X₅, а по второму наоборот, т. е. имеем неулучшаемые решения, и т. д. После проведённого анализа у нас остались три решения X₂, X₄, X₅ оптимальных по Парето.

Построим критериальное пространство для нашей задачи. Как известно паре чисел соответствует точка на плоскости. Занумеруем точки соответственно номеру решения (рис 3). Из рисунка видно, что эффективные точки лежат на правой верхней границе области возможных решений (Ауд. решить данную задачу, когда оба критерия нужно минимизировать).

Рис. 3. Множество Y_k

Когда из множества возможных решений выделены эффективные, «переговоры» могут вестись уже в пределах этого «эффективного» множества. На рис. 3 образуют три решения X₂, X₄, X₅; из них X₄ лучше по критерию F₁, а решение X₂ по критерию F₂. Дело ЛПР, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и «приемлем» по обоим критериям.

Замечание. Точка Y₁ выбирается в Y_D в том и только в том случае, когда любая другая точка Y₂ из Y_D имеет хотя бы по одной координате значение больше чем Y₁ (критерии минимизируются).

Замечание. Для определения эффективных точек используют правило «уголка». Уголок вида L используется для определения компромиссных точек в критериальном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок когда критерии минимизируются.

В случае, когда множество допустимых исходов является непрерывным, их векторные оценки «заполняют» некоторую область Y_D на плоскости и получается «картинка» вроде изображённой на рис. 4. В этом случае множество Парето-оптимальных оценок (красная линия) представляет собой часть границы Y_D, образно говоря, её «юго-западную» границу". Если критерии максимизируются то — «северо-восточную» границу области Y_D.

Рис. 4. Пространство оценок Y_D и компромиссная кривая (красный цвет)

Замечание. В случае невыпуклой области её Парето-оптимальная граница может иметь более «экзотический» вид, например, состоять из отдельных линий и/или точек. Для данного примера (критерии максимизируются) — это правый пик.

Замечание. Экономисты так определяют оптимальность по Парето. Состояние называется оптимальным по Парето, если выполняется следующее условие: ничьё благосостояние не может быть улучшено без ухудшения благосостояния кого-либо другого (см. История экономических учений. /Под ред. В. Автономова: Учеб. Пособие. — М.: ИНФА — М, 2000. — 784 с. (стр. 242)).

Таким образом, под оптимально-компромиссным решением будем понимать одну из эффективных точек, являющуюся предпочтительней с точки зрения ЛПР. Задача векторной оптимизации не позволяет однозначно ответить на вопрос, получено ли оптимальное решение. Положительный ответ на этот вопрос зависит от качественной информации о важности частных критериев, которая имеется у ЛПР.