Аспект понятия «четырехугольники» в школьном курсе геометрии

Историческая справка о четырехугольниках

В древних египетских и вавилонских документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольной трапеции.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, который был введен Евклидом. Он называл параллелограмм «параллельно-линейной площадью». Слово parallhlogrammou составлено из parallhloz и grammh— «линия» это слово дало основу для термина «параллелограмм» [44].

Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная версия параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь с 17 века. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида (и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых) [44].

Первые геометры, в том числе и Евклид, мыслили прямоугольник, вписанный в круг.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Образ ромба был связан первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Есть и другое значение. Термин «ромб» образован от греч. спмвпт — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми [44].

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrareсделать четырехугольным), перевод с греческого — четырехугольник [44].

Трапеция — это четырёхугольник, где две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Трапеция — слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1 век). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в 18 веке это слово приобретает современный смысл [44].

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников Параллелограмм.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма противолежащие стороны равны;

противоположные углы равны;

диагонали точкой пересечения делятся пополам;

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.

Противоположные стороны попарно равны.

Противоположные углы попарно равны.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны Прямоугольник.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника все свойства параллелограмма;

диагонали равны.

Признаки прямоугольника Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.

Его диагонали равны.

Ромб.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба все свойства параллелограмма;

диагонали перпендикулярны;

диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата все углы квадрата прямые;

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы Произвольный выпуклый четырехугольник.

d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d1d2 sin.

Параллелограмм.

a и b — смежные стороны; — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне a.

• S = aha
• S = ab sin
• S =d1d2 sin

Трапеция.

a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

S = lh.

Прямоугольник.

• S = ab
• S =d1d2 sin

Ромб.

• S = aha
• S = a2sin
• S =d1d2

Квадрат.

d — диагональ.

• S = a2
• S =d2

Рассмотрим свойства четырехугольников, на примере ЕГЭ.

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть ВМ и СК — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне ВС. Сумма углов ЛВС и BCD равна 180°. Углы ОВС и ОСВ — половинки углов ЛВС и BCD. Значит, сумма углов ЛВС и BCD равна 90 градусов. Из треугольника ВОС находим, что угол ВОС — прямой.

Ответ: 90.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы DAE и ВЕЛ, а также CED и .4DE — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол ИЛЕ равен углу ВЕЛ, а угол CED — углу .4DE.

Получаем, что треугольники .ABE и CDE — равнобедренные, то есть BE = ЛВ, а ЕС = CD. тогда ВС = 5 + 5 = 10.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

• S = a * h, где, а — основание параллелограмма, h — его высота.
• S = a * b * sin if, где a и b — стороны параллелограмма, ^ — угол между ними.

И еще одна формула. Также, как и свойства биссектрис углов параллелограмма, эта формула пригодится тем, кто нацелен на решение задачи С4.

S = dl * d2 * sin а, где d 1 и d2 — диагонали параллелограмма, а — угол между ними.

Прямоугольник и его свойства Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

• 1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1: 2, меньшая его сторона равна
• 6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Всё просто. Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. Найдите, чему равен угол DBA и его синус, а затем найдите DB.

Ответ: 12.

А сейчас рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы?

Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки СМ, ВМ и AM тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника.

Мы доказали теорему:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Итак, ВМ = СМ, значит, треугольник ВМС равнобедренный, и угол В СМ равен 24°.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла,.

/АСЕ = /.ABC = 24°.

Тогда угол МСН (между медианой и высотой треугольника ABC) равен.

90* - 24° - 24° = 42°.

Ответ: 42.

Как вы думаете, где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? Ведь центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Проведем диагональ АС.

Получим, что АС равна.

Ответ: 10.

Ромб и его свойства По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60°.

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник.ADB. Поскольку AD = DB, а угол DAB равен 60°, треугольник .4DB — равносторонний.

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 3, а острый угол равен 60?

Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

2. Диагонали ромба относятся как 3: 4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны 6х и 8х.

Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник АОВ — прямоугольный.

По теореме Пифагора Л В2 = АО2 + ОВ2.

Нам надо найти высоту ромба.

Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, S = а * h. С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников ЛВС и ADC, то есть равна 60 * 40 = 2400. отсюда h = S: а = 2400: 50 = 48.

Ответ: 48.

Квадрат — определение и свойства Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Можно дать и другое определение квадрата:

квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: 2.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 4.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, считая стороны квадратных клеток равными .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 2.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник. В ответе укажите .

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например,. Она равна. Тогда радиус вписанной окружности равен. В ответ запишем .

Ответ: 5.

Трапеция и ее свойства Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. Мы разобрали и стандартные задачи (номер 1 и 2), и более интересные.

1. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины В.

Ответ: 2.

2. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника ABC находим x = 5.

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

5. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

Ответ: 23.