Оптимизация решения по векторному критерию

Задача 1

Предприятие планирует к производству два вида продукции. Для производства продукции используются оборудование, материалы и финансовые средства. Данные о расходе ресурсов и их наличии на планируемый период представлены в таблице.

Предприятие должно изготовить не менее 1 единицы продукции первого вида и 2 единицы продукции второго вида. Требуется найти компромиссное решение методом равных и наименьших относительных отклонений по трем критериям: прибыли, затратам трудовых ресурсов и стоимости. Численные значения этих показателей для первого и второго видов продукции следующие: прибыль — (1,5; 2,8), трудовые затраты — (4; 4), стоимость — (8; 3).

Пусть х₁ и х₂ — объемы производства продукции первого и второго видов соответственно. Тогда критерии задачи будут иметь вид Ограничения задачи:

Решение Исходные данные примера занесем в электронную таблицу Excel. В столбце D этой таблицы, где расположены нули, фактически находятся формулы. Например, в пятой строке, соответствующей ограничению по оборудованию, записана формула: =СУММПРОИЗВ (В$ 12:С$ 12; В5: С5).

Для решения задачи по каждому из критериев необходимо в диалоговом окне Поиск решения указать нужный адрес целевой ячейки (в нашем примере D15; D16 и D17), направление оптимизации, ввести ограничения и применить команду Выполнить.

Рис 1. Решение задачи по критерию «прибыль».

В этом случае рекомендуется не производить продукцию I вида, продукцию II вида производить в объёме 7 ед. Прибыль составит 19,6 ден. ед., затраты на трудовые ресурсы — 28 ден. ед., оптовая цена — 21 ден. ед.

Рис 2. Решение задачи по критерию «трудовые ресурсы».

В этом случае необходимо производить 1 ед. продукции I вида, продукцию II вида производить в объёме 2 ед. Затраты на трудовые ресурсы составят 12 ден. ед., прибыль — 7,1 ден. ед., оптовая цена- 14 ден. ед.

Рис 3. Решение задачи по критерию «оптовая цена».

В этом случае необходимо производить 5,73 ед. продукции I вида, продукцию II вида производить в объёме 2 ед. Оптовая цена составит 51,82 ден. ед., прибыль — 14,19 ден. ед., затраты на трудовые ресурсы — 30,91 ден. ед. прибыль затраты трудовой математический Решим рассматриваемую задачу методом равных и наименьших относительных отклонений. Для этого занесем основные и дополнительные ограничения задачи в электронную таблицу Excel. Как и раннее, на месте нулей в столбце G записаны формулы сумм произведений значений изменяемых переменных на соответствующие коэффициенты при неизвестных системы ограничений и целевой функции.

Значение целевой функции находится в ячейке G22, изменяемые переменные размещены в диапазоне B12: F12.

Подставив в последнее выражение значение имеем ограничение вида.

После занесения этого ограничения в таблицу (рис. 4) (вместо дополнительного ограничения на равенство относительных отклонений по первому и второму критериям) и выполнения расчета получим новое решение (рис. 5). В этом решении значения всех трех критериев изменились по отношению к предыдущему решению: что говорит о влиянии весового коэффициента.

Рис 5. Новое решение задачи по компромиссному критерию.

В этом случае компромиссная производственная программа будет такая: 2,87 ед. I вида продукции, 2,58 ед. II вида продукции.

Задача 2

Рассмотрим математическую модель оптимизации производственной программы многономенклатурного производства.

Исходные данные для оптимизации производственной программы представлены в табл.

Портфелем заказов определено, что телевизоров необходимо изготовить не менее 1800, магнитофонов — 1450, видеомагнитофонов — 1980 и радиоприемников — 1500. В том числе на экспорт должно быть произведено продукции не менее чем на 25 000 ден. ед.

Решение Для оптимизации производственной программы используем программное средство «Поиск решения» информационных технологий Excel.

Результаты расчетов задачи по каждому из критериев в отдельности, следующие:

Рис 6. Решение задачи по критерию «оптовая цена».

В этом случае необходимо производить 1500 ед. радиоприёмников, 1800 ед. телевизоров, магнитолы не производить, 1450 ед. магнитофонов, 1980 ед. видеомагнитофонов, 3633 ед. электропылесосов. При этом оптовая цена составит 84 846, 67 ден. ед., себестоимость — 68 813, 33 ден. ед., трудовые затраты — 214 683 ден. ед., прибыль — 16 033,33 ден. ед.

Рис 7. Решение задачи по критерию «себестоимость».

В этом случае необходимо производить 1500 ед. радиоприёмников, 1800 ед. телевизоров, магнитолы не производить, 1450 ед. магнитофонов, 1980 ед. видеомагнитофонов, электропылесосы не производить. При этом оптовая цена составит 55 780 ден. ед., себестоимость — 45 560 ден. ед., трудовые затраты — 178 350 ден. ед., прибыль — 10 220 ден. ед.

Рис 8. Решение задачи по критерию «трудоёмкость».

В этом случае необходимо производить 1500 ед. радиоприёмников, 1800 ед. телевизоров, магнитолы не производить, 1450 ед. магнитофонов, 1980 ед. видеомагнитофонов, электропылесосы не производить. При этом оптовая цена составит 55 780 ден. ед., себестоимость — 45 560 ден. ед., трудовые затраты — 178 350 ден. ед., прибыль — 10 220 ден. ед.

Рис 9. Решение задачи по критерию «прибыль».

В этом случае необходимо производить 1500 ед. радиоприёмников, 1800 ед. телевизоров, 1899 ед. магнитол, 1450 ед. магнитофонов, 1980 ед. видеомагнитофонов, 1259 ед. электропылесосов. При этом оптовая цена составит 72 502,09 ден. ед., себестоимость — 56 468,75 ден. ед., трудовые затраты — 209 935 ден. ед., прибыль — 16 033,33 ден. ед.

Рис 10. Решение задачи компромиссному критерию.

При оптимальной компромиссной производственной программе необходимо производить 1500 ед. радиоприёмников, 1800 ед. телевизоров, 93 ед. магнитол, 1450 ед. магнитофонов, 1980 ед. видеомагнитофонов, 2218 ед. электропылесосов. При этом оптовая цена составит 84 846,67 ден. ед., трудовые затраты — 178 350 ден. ед., прибыль — 16 033,33 ден. ед.