Возрастание и убывание функций. 
Экстремумы

Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 > х1, выполнено неравенство f (x2) > f (x1).

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 > х1, выполнено неравенство f (x2) < f (x1).

Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (xmin) и максимума (xmax).

Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f (x)? f (x0).

Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f (x)? f (x0).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.

Пример 9. Найти точки экстремума, экстремумы функции y = x2+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

у = x2+2x, D (y) = R.

y' = (x2+2x)' = 2x+2.

y' = 0, т. е. 2х+2 = 0.

2х = -2.

х = -1.

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

x = -2, y'= -4+2<0.

x = 0, y'= 0+2>0.

Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х = -1, это точка минимума функции. Так как функция непрерывна в точке х = -1, то функция возрастает на [-1;+?] и убывает на [-?;-1].

Точки экстремума: xmin = -1.

Экстремумы функции: ymin = y (-1) = 1 — 2 = -1.