Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в звезду и обратно

Рассмотрим преобразование схем, в которых резисторы соединены в эквивалентные треугольник (рис. 2.5 а) и звезду (рис. 2.5 б).

Как отмечалось выше, условие эквивалентности двух схем сводится к равенству токов протекающих к узлам 1, 2, 3 треугольника и к соответствующим точкам звезды — это токи I₁, I₂, I₃, а также к равенству напряжений между этими же точками.

Запишем напряжение U₂₁ для треугольника и звезды при условии I₂ = 0; I₃ = - I₁.

В треугольнике по сопротивлению R₁₂ протекает ток, являющийся частью тока I₃ (так как I₂ = 0), который мы найдем по формуле «разброса токов».

(2.3).

Отсюда напряжение.

(2.4).

Это же напряжение для эквивалентной звезды (с учетом I₂ = 0).

;;; .(2.5).

Приравнивая (2.4) и (2.5), получим.

(2.6).

Аналогично (2.6) можно записать.

(2.7).

(2.8).

Формулы (2.6), (2.7) и (2.8) позволяют по известным сопротивлениям исходного треугольника получить сопротивления лучей эквивалентной звезды.

При обратном преобразовании, если за исходную схему берем трёхлучевую звезду, то сопротивления эквивалентного треугольника получим, решая совместно уравнения (2.6), (2.7) и (2.8) относительно неизвестных параметров треугольника.

; (2.9).

; (2.10).

; (2.11).

Обратите внимание на известную мнемонику формул (2.6) — (2.11), позволяющую довольно просто их запомнить. Например, сопротивление R₁ по (2.6) для эквивалентной звезды получаем как произведение сопротивлений R₁₂ и R₃₁, подключенных к 1 узлу треугольника, деленное на сумму всех его сопротивлений.

Сопротивление, например, R₁₂ по (2.9) получается как сумма сопротивлений R₁ и R₂ (обратите внимание на их индексы) и сопротивления R₁R₂/R₃ (внимание на индексы).

Пример 2.2. В схеме рис. 2.6 а величины сопротивлений и ЭДС известны:

R₁ = 2 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 2 Ом; R₄ = 5 Ом; R₅ = 3 Ом; R₆ = 6 Ом; Е₁ = 12 В; Е₂ = 10 В.

Определять токи в ветвях схемы.

Решение

Если выполнять поставленную задачу без предварительного преобразования схемы, то для определения токов пришлось бы решать или шесть уравнений по методу законов Кирхгофа, или три уравнения, составленных по методу контурных токов, или три уравнения по методу узловых потенциалов.

Преобразуем треугольник сопротивлений R₃, R₄, R₅ в эквивалентную звезду. После преобразования схема примет вид на рис. 2.6 б. В этой схеме, согласно (2.6), (2.7) и (2.8),.

Ом;

Ом;

Ом.

Отметим, что токи I₁, I₂ и I₆ в схемах на рис. 2.6 а и 2.6 б остались неизменными, так как протекают по не преобразованным частям схемы.

Заменяя последовательно соединенные сопротивления на эквивалентные, получим.

Ом; Ом; Ом.

Схема рис. 2.6 б примет вид рис. 2.6 а.

В схеме на рис. 2.6 в только два узла. Это позволяет по методу узловых потенциалов, приняв ₄ = 0, записать только одно уравнение, т. е. формулу «двух узлов» (1.21).

В. (2.9).

Далее, используя обобщенный закон Ома, найдем токи I₁, I₂ и I₆ в не преобразованной части схемы (₄ = 0).

А; А; А.

Для определения токов I₃, I₄ и I₅ вернемся к схеме рис. 2.6 б и определим потенциалы узлов 1, 2, 3 (₄ = 0).

В; В; В.

По условиям эквивалентности потенциалы узлов /, 2, 3 схемы рис. 2.6 а и потенциалы точек 1, 2, 3 схемы рис. 2.66 одинаковы. Поэтому для токов I₃, I₄, I₅ схемы рис. 2.6 а получим.

А; А; А.