Кручение. 
Сопротивление материалов

Кручение бруса с круглым поперечным сечением

Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т. е. Nz, Qx, Qy, Mx, My равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Mz направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, вовторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

Рис. 4.1.

Для построения эпюры крутящих моментов Mz применим традиционный метод сечений на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов Mz = 0, получим:

Mz = M. (4.1).

Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала крутящий момент Mz в данном случае постоянен по всей длине бруса.

Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами и + d выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол d. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол и займет положение АВ. Дуга BВ равна с одной стороны, d, а с другой стороны dz. Следовательно,.

. (4.2).

Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений, вызванных действием крутящего момента. Обозначая.

(4.3).

где относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.

Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

=. (4.4).

Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

= G, (4.5).

где касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определить через с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = dF.

Рис. 4.2.

Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

. (4.6).

Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

. (4.7).

Откуда. (4.8).

Величина G I называется жесткостью бруса при кручении.

Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

. (4.9).

Если крутящий момент Mz и жесткость G I по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:

(4.10).

где (0) угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него, согласно (4.8), получим:

()=. (4.11).

Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

(4.12).

Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r =, то для кольца.

(4.13).

где с = .