Комплексные дифференциальные уравнения

До сих пор рассматривались лишь действительные дифференциальные уравнения и их действительные решения. Однако в некоторых случаях бывает легче найти сначала комплексные решения данного уравнения, а затем выделить из них действительные решения. Для изложения этого подхода условимся относительно некоторых понятий.

I. Комплексной функцией ? действительного переменного t называется однозначное отображение интервала действительной оси (r₁, r₂) в поле комплексных чисел C и, следовательно, такие функции могут быть представлены в виде:

где ?(t) и ?(t) — действительные функции переменного t. Функция ? называется действительной частью комплексной функции ?, а ? — мнимой частью функции?. Комплексная функция называется непрерывной в точке t₀? (r₁, r₂), если в этой точке непрерывно отображение (1.54). Другими словами — для любого ? > 0 найдется такое ? = ?(?,t₀) > 0, что соотношение ?t?t₀? < ?, t? (r₁, r₂) влечет за собой неравенство Данное определение равносильно тому, что непрерывными в точке t₀ являются действительная ? и мнимая ? части функции ?. Функция ? называется непрерывной на промежутке r₁ < t < r₂, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Из сказанного выше ясно, каким образом должно быть дано определение ее дифференцируемости в точке. Это определение эквивалентно требованию дифференцируемости вещественных функций. При этом производная комплексной функции ?(t) выражается формулой.

Формулы дифференцирования суммы, произведения и частного комплексных функций действительного переменного имеют тот же самый вид, что и для вещественных функций.

II. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений нормального вида.

предполагая, что h_i — комплексные функции, зависящие от действительного переменного t и комплексных значений переменных z₁,?, z_n. Ограничимся, например, случаем когда эти функции являются многочленами относительно переменных z₁,?, z_n, т. е.

где коэффициенты представляют собой заданные действительные или комплексные функции действительного переменного t, определенные и непрерывные на промежутке q₁ < t < q₂. При этих условиях вполне естественной представляется постановка вопроса об отыскании комплексных решений системы (1.55).

Систему комплексных функций действительного переменного t, определенных и непрерывно дифференцируемых на интервале q₁ < t < q₂ будем называть решением системы (1.55), если при замене переменных z_i функциями переменной t по формулам (1.57) мы получаем систему тождеств по t на этом интервале.

Замечая, что в силу предположения (1.56) правые части h_i уравнений (1.55) определены для всех значений переменных z₁,?, z_n, сформулируем следующую теорему существования и единственности для системы (1.55) (Аналогично теореме 1.3.1).

Теорема 1.5.1 Пусть

— произвольная система начальных значений, подчиненная условию, что точка принадлежит области определения системы (1.55).

Тогда существует решение

системы (1.55), определенное на некотором интервале (r₁, r₂), содержащем значение t⁰, и удовлетворяющее начальным условиям:

При этом всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.

Докажем это утверждение. Представив искомые функции z_i в виде и введя действительные функции f_j и g_j действительных аргументов посредством соотношений:

получаем, что система уравнений (1.55) эквивалентна следующей системе действительных уравнений.

В силу формул (1.56) правые части f_j и g_j системы (1.62) являются многочленами относительно переменных и поэтому определены при всех значениях этих переменных. Так как коэффициенты a_ij многочленов h_i являются непрерывными функциями переменного t на интервале q₁ < t < q₂, то на том же интервале определены и непрерывны коэффициенты многочленов f_j и g_j. Таким образом, правые части системы (1.62) определены и удовлетворяют условиям теоремы 1.3.1 в полосе.

В силу теоремы 1.3.1 существует единственное решение.

системы уравнений (1.62), удовлетворяющее начальным условиям:

представляют собой решение задачи (1.55), (1.59). Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если система (1.55) линейна относительно переменных z₁,?, z_n, то есть.

то и система (1.62) также является линейной. Согласно теореме 1.3.2 и сказанного выше комплексное решение z =??(t) определено на всем интервале q₁ < t < q₂непрерывности коэффициентов a_jk(t) в (1.67).

Замечание 2. И в том случае, когда правые части h_i системы (1.55) представляют собой действительные многочлены (т.е. коэффициенты a_ij(t) в формуле (1.56) — суть действительные функции) и формально, следовательно, система (1.55) является действительной, мы можем, тем не менее, искать ее комплексные решения, считая, что функции z₁, z₂,?, z_n комплексные. Такой подход к действительным уравнениям применяется потому, что в ряде случаев легче найти комплексные решения действительных уравнений, чем их действительные решения. При таком подходе находят сначала комплексные решения данной действительной системы, а затем из них выделяют такие решения, мнимые части которых равны нулю, т. е. действительные решения. Именно таким приемом будут далее решаться линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Замечание 3. Так же как и в действительном случае, можно рассматривать комплексные дифференциальные уравнения высокого порядка довольно общего вида, и приемом, изложенным в параграфе 1.4 данной главы, свести их к нормальной системе. Для иллюстрации мы сформулируем здесь теорему существования и единственности только для одного комплексного уравнения n-го порядка, разрешенного относительно высшей производной.

Теорема 1.5.2 Пусть

— уравнение порядка n, правая часть f в которой является многочленом относительно переменных с коэффициентами, являющимися непрерывными комплексными функциями переменного t, определенными на интервале q₁ < t < q₂. Пусть — произвольные начальные значения, где — произвольные комплексные числа, а t⁰ — действительное число, удовлетворяющее неравенствам q₁ < t⁰ < q₂. Тогда существует решение z =??(t) уравнения (1.68), удовлетворяющее начальным условиям:

Всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.

Если уравнение (1.68) линейно, то есть.

то для любых допустимых начальных значений существует решение, определенное на всем интервале q₁ < t < q₂ непрерывности коэффициентов a_j(t) многочлена (1.70).

III. При изучении линейных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет комплексная функция e^?t действительного переменного t, где ? — комплексное число. В качестве определения этой функции может быть принята формула Для комплексных значений ? (так же как и для действительных значений) имеет место формула дифференцирования.

Для произвольного комплексного числа ? = u + i v справедливы формулы: