Рациональные числа. 
Числовые системы

Определение системы рациональных чисел

Формирование определения

Рациональные числа мы представляем себе в виде объединения множества целых чисел и множества дробей, то есть отношений целых чисел. Но тут же замечаем, что всякое целое число можно рассматривать как отношение со знаменателем 1. Таким образом, множество рациональных чисел в нашем понимании есть множество всех отношений целых чисел. Рациональные числа можно складывать и перемножать, причем эти операции обладают теми же свойствами, что и для целых чисел, то есть свойствами, характеризующими область целостности. Кроме того, для всякого рационального числа, отличного от нуля, существует обратное рациональное число. Это новое для области целостности свойство превращает ее в поле. Приведем определение этого понятия.

• 4.1.1. Определение. Система (Р, +, •) называется полем, если выполнены следующие условия:
• 1. Система (Р, +) - коммутативная группа (она называется аддитивной группой поля), то есть

a) сложение + ассоциативно и коммутативно;

b) существует элемент ОеР, называемый нулем, такой, что для любого а&Р имеем а + 0 = а;

c) для всякого элемента аеР существует противоположный элемент -аеР такой, что а + (-а) = 0.

2. Если Р* = Р{0}, то (Я*,-) — коммутативная группа (она называется мультипликативной группой поля), то есть.

a) умножение ассоциативно и коммутативно;

b) существует элемент ееР*, называемый единицей, такой, что для любого аеР* имеем а е = а;

c) для всякого аеР* существует обратный элемент а^-1 такой, что а-а≅е.

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

Непосредственно из определения вытекает, что в поле нуль не равен единице. Используя понятие кольца, можно сказать, что поле — это коммутативное кольцо с единицей, не равной нулю, в котором для всякого ненулевого элемента есть обратный.

4.1.2. Определение. Пусть — поле, а>ЬеР иЬфО.

Элемент a b~^l называется отношением элементов а и b

а

и записывается в виде —.

b

Дадим определение системы рациональных чисел, отражающее наше представление о ней.

• 4.1.3. Определение. Системой рациональных чисел называется поле {Q, +, •>, удовлетворяющее следующим условиям:
• 1) оно содержит кольцо целых чисел (Z, +, •>;
• 2) всякий элемент из Q представим в виде отношения целых чисел, то есть для любого qeO существуют a, beZ такие, что Ьф О

а

и а.

¹ Ь

Всякий элемент из Q называется рациональным числом, а система (2, +, •) называется полем рациональных чисел.

4.1.4. Теорема. Изоморфный образ поля рациональных чисел есть поле рациональных чисел.

Доказательство. Утверждение вытекает из того, что изоморфный образ поля есть поле, а изоморфный образ кольца целых чисел есть кольцо целых чисел. ?