Длина волны в волноводе

Каждая составляющая электрического поля должна удовлетворять волновому уравнению. Составляющая Еу, таким образом, должна удовлетворять уравнению.

Для волны TE01Ey определяется из уравнения (9). Подставляя Еу в уравнение (10), получим.

где =2?/?g, а c — скорость света в свободном пространстве. Так как где? — длина волны генератора в свободном пространстве, то из уравнения (11) получим.

Это равенство дает.

Рис. 1. Зависимость длины волны в волноводе? g от длины волны генератора

Отсюда видно, что длина волны в трубе больше, чем в свободном пространстве. Это вызвано тем, что фазовая скорость распространения волн в волноводе больше, чем скорость распространения в свободном пространстве. Дифференцируя, получим выражение для групповой скорости.

фазовая скорость будет.

Кривая зависимости? g от ?, соответствующая уравнению, показана на рис. 1. С приближением? к 2b? g неограниченно нарастает. Если ?>2b, то из уравнения следует, что длина волны в волноводе становится мнимой величиной.

Это означает, что при ?>2b всякое распространение волны в волноводе прекращается. Поэтому за предельную длину волны в прямоугольном волноводе с волной TE01 берут? пр = 2b.

Равенство.

справедливо для любого типа волны, любого волновода любого сечения при условии, что значение? g соответствует тому типу волны и тому поперечному сечению, которые в этом случае рассматриваются.

Для того чтобы понять особенности распространения электромагнитной волны в прямоугольном волноводе и наличие в нем критической волны, необходимо исходить из того, что поле в нем есть результат сложения двух плоских волн. В самом деле, рассмотрим плоскости равных фаз и направление распространения двух одинаковых плоских электромагнитных волн, изображенных на рис. 2.

Рис. 2. Плоскости равных фаз в прямоугольном волноводе

Пусть направления распространения волн I и II образуют одинаковые углы падения с боковыми стенками волновода. Сплошными линиями, перпендикулярными к направлениям волн I и II, показаны плоские фронты этих волн с фазой, соответствующей максимуму бегущей синусоидальной волны для некоторого момента времени. Пунктирные линии соответствуют плоскостям минимумов бегущей волны. Как это видно из построения, на стенках в местах пересечения максимумов одной волны с минимумом другой автоматически выполняются граничные условия. Фронты максимумов плоских волн пересекаются посередине волновода под такими же углами, как и фронты минимумов. При увеличении длины плоской волны X вертикальные углы между фронтами максимумов и минимумов также увеличиваются и, таким образом, возрастают углы падения и отражения. Это и обусловливает появление предельной волны. Действительно, рассмотрим луч, соответствующий направлению волны I и ее фронт, где находится в данный момент максимум бегущей волны. Угол падения луча обозначим через ?. Из треугольника EOF (рис. 3) следует.

?/2=bcos?, ?=2bcos?

Следовательно, максимальная длина волны, которая может распространяться по волноводу, ?пр =2b. В этом случае угол падения и отражения? = 0 и фронт плоской волны параллелен оси волновода. При таком падении волна будет отражаться от стенки к стенке в вертикальном направлении и вдоль волновода распространяться не будет.

Отсюда следует, что длина волны в волноводе, измеряемая вдоль оси волновода? g, больше длины волны в свободном пространстве ?, и так как? пр =2b, то cos?= ?/?пр С другой стороны,.

и, следовательно,.

Скорость движения энергии по волноводу, т. е. групповая скорость, меньше фазовой скорости и скорости света с.

Из рис. 3 видим, что групповая скорость? гр=csin? или.

Фазовая скорость.

больше скорости света и в пределе стремится к бесконечности при ?> ?пр, это и объясняет то, что длина волны в волноводе? g больше, чем в свободном пространстве.

Нас интересуют размеры поперечного сечения волновода, от которых зависят предельные волны всех типов. Если длина волны генератора, питающего волновод, ?, то для распространения волны Н01 необходимо, чтобы размер большей стороны волновода b подчинялся условию? пр = 2b> ?, или b> ?/2, т. е. длина волны в. свободном пространстве должна быть меньше предельной волны типа Н01. Размер стороны a волновода не должен превышать длины волны, иначе в нем будет распространяться волна Н02, для которой? пр=a. Таким образом, для заданной волны? генератора ширина волновода b определяется из условия? /2.

Для того, чтобы не распространялась волна Н10, для которой? пр=2a, размер меньшей стороны волновода a должен быть меньше? /2.

Обычно размер меньшей стороны волновода принимают равным половине большой, т. е. а=b/2 = 0,35 ?.

Таким образом, в волноводе е размерами сторон b = 0,7?, а = 0,35 ?, может распространяться только волна Н01.