Понятие статистического критерия. 
Наблюдаемое значение критерия

Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Пусть даны выборка из неизвестного совместного распределения, и семейство статистических гипотез. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

.

Таким образом, каждой реализации выборки статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев.

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: — нулевая гипотеза. или — конкурирующая гипотеза.

Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости. Критериями согласия являются:

• 1. Критерий Пирсона.
• 2. Критерий Колмогорова
• 3. Критерий Андерсона-Дарлинга.
• 4. Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова.
• 5. Критерий согласия Купера.
• 6. Z-тест.
• 7. Критерий Жака-Бера (англ.).
• 8. Критерий Шапиро-Уилка (англ.).
• 9. График нормальности (англ.) — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (т.е. проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии.

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

• · Q-критерий Розенбаума.
• · U-критерий Манна-Уитни.
• · Критерий Уилкоксона.
• · Критерий Пирсона.
• · Критерий Колмогорова-Смирнова.

Параметрические критерии.

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

• · t-критерий Стьюдента.
• · Критерий Фишера.
• · Критерий отношения правдоподобия.
• · Критерий Романовского.

Основные понятия:

• · Статистическая значимость критерия.
• · Мощность критерия.

Простой пример.

Пусть дана независимая выборка:

.

где. Пусть есть две простые гипотезы:

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

где — выборочное среднее.

Подчиняется распределению Стьюдента, U-критерий подчиняется нормальному распределению.

Наблюдаемым значением статистического критерия называется значение критерия, которое рассчитано по выборочной совокупности, подчиняющейся определённому закону распределения.

Множество всех возможных значений выбранного статистического критерия делится на два непересекающихся подмножества. Первое подмножество включает в себя те значения критерия, при которых основная гипотеза отвергается, а второе подмножество — те значения критерия, при которых основная гипотеза принимается.