Фазовая и групповая скорости света

Лабораторные методы определения скорости света, позволяющие производить эти измерения на коротком базисе, дают возможность определять скорость света в различных средах. В соответствии с волновой теорией света закон преломления света на границе вакуум — среда описывается соотношением Снеллиуса.

где п — показатель преломления среды; v — скорость света в среде.

Таким образом, можно, с одной стороны, определить отношение c/v для конкретной среды по закону преломления, а с другой — найти c/v из лабораторных методов определения скорости света (например, методом Араго — Фуко). Майкельсон провел такие измерения для некоторых прозрачных жидкостей и установил, что, например, для воды оба метода дают одинаковое значение c/v = 1,33, а вот для сероуглерода получилось c/v = 1,75 из метода Фуко, c/v = 1,64 из преломления. Это различие существенно превышает ошибки измерения. Объяснение этого факта было дано Рэлеем, и основано оно на понятиях фазовой и групповой скорости света.

В законе преломления, который для двух сред можно записать в виде sinii v-i ,.

— = —, используют понятие фазовой скорости, справедливой, строго.

sin i₂ v₂

говоря, для монохроматических волн: S (x, t) = S₀ cos (cot -kx), где к = = со/Гф — волновое число.

Следовательно,.

— фазовая скорость, т. е. скорость распространения определенной фазы колебаний в пространстве.

В действительности мы всегда имеем импульс света, который можно представить как пакет (группу) монохроматических волн. Причем немонохроматичность импульса света вытекает из его конечности (так как имеет место соотношение Av • т > 1). Скорость света можно отождествить со скоростью перемещения точки, характеризующейся максимумами напряженности поля в группе волн. Такая скорость и получила название групповой скорости. Группа волн может быть представлена в виде.

На рис. 7.6 качественно представлен график функции S (x, t). Максимум группы волн реализуется при? = 0, так как при этом sin^/?, = 1, т. е. положение точки максимальной напряженности группы волн определяется условием.

Рис. 7.6.

Итак, монохроматическая волна характеризуется фазовой скоростью

Уф = со/к, означающей скорость перемещения фазы, а импульс света.

". «dco.

(волновой пакет) характеризуется групповой скоростью v= —, соот;

dk

ветствующей скорости распространения максимума амплитуды группы волн, а следовательно, и энергии, переносимой импульсом.

Подставим в выражение для групповой скорости частоту, выраженную через фазовую скорость:

Так как к = — и dk = —^ • dX, то имеем.

X X²

— формула Рэлея.

Если фазовая скорость волн не зависит от X, т. е. нет дисперсии света, то v_rp = Уф. Но такое условий реализуется только в вакууме (т. е. там v_rp = Уф = с). Если же в среде имеет место нормальная дисперсия (dn/dA, < 0, dv/dX > 0), то у_гр < Уф. Для аномальной дисперсии (dy/dA < с: 0) у_гр > Уф и может оказаться больше с. Однако здесь нет противоречия с теорией относительности, так как в случае аномальной дисперсии волновой пакет деформируется и формула Рэлея теряет смысл.

Чем больше дисперсия света в среде, тем значительнее различие между v_rp и Уф. Поскольку лабораторные методы определения скорости света дают групповую скорость (так как используются импульсы света), а из преломления получается фазовая скорость, то различие между с/у, полученное Майкельсоном для сероуглерода, связано именно с большой дисперсией этого вещества (в отличие от воды, где она невелика).