Магнитостатика постоянных токов, текущих по тонким проводникам

магнитостатика проводник деформация Рассмотрим систему тонких контуров с током, таких что.

(1).

где — диаметр поперечного сечения; - характерный размер контура (Рис. 1).

Рис. 1. Тонкий контур с током плотности. — характерный размер, — диаметр контура с током.

Начнем анализировать физическую ситуацию в этих контурах, для чего выпишем уравнения макроскопической магнитостатики.

(2).

где — плотность свободных токов; - вектор намагничивания (магнитный дипольный момент единицы объема вещества).

Задача магнитостатики приобретает окончательную математическую форму только при наличии связи и (либо надо предложить методику расчета — магнитного момента единицы объема вещества).

Упростим задачу еще более. Рассмотрим материалы с линейной связью.

(3).

(это возможно только лишь тогда, когда).

Напомним в этой связи, что магнитная напряженность не имеет прямого физического смысла, однако часто вводят магнитную восприимчивость по отношению к полю по формуле.

(4).

Продолжим упрощение поставленной задачи. Пусть (имеется в виду, что тонкий контур помещен в некоторую среду и — ее магнитная проницаемость. Тривиальным примером является электрическая проводка в стене комнаты). Отметим, что предположение (5) вводится для простоты. В общем случае надо рассматривать неоднородный контур с током. Причина такой неоднородности легко может быть указана для мощных силовых кабелей, которые своим полем деформируют окружающую среду. Кроме этого изначально возможно неоднородность среды при рассмотрении узких прикладных задач, в том числе — ее кусочная неоднородность.

В рассматриваемом случае уравнения (2) еще более упрощаются.

(6).

Система (6) есть система уравнений магнитостатики вещества в простейшем случае. Следует еще раз обратить внимание на ограничения, в которых получена эта система уравнений отнюдь не общего вида. С учетом этих ограничений строится и алгоритм ее решения. В случае микроскопической магнитостатики, как было показано ранее, термин «магнитостатика» весьма условен ввиду того, что для ее построения привлекается довольно сложная классическая модель. В макроскопической же электродинамике с самого начала приходится работать с усредненными полями. Поэтому сам термин «статика» используется при построении соответствующего приближения без условностей и оговорок.

Согласно основной теореме векторного анализа, величина (как это следует из (6)) может быть представлена в виде.

(7).

Выберем такое же калибровочное условие для вектора, какое использовалось в микроскопической магнитостатике.

(8).

Подставляя (7), (8) в первое из уравнений (6) получаем с использованием стандартной формулы векторного анализа уравнение для.

(9).

Уравнение (8) есть уравнение Пуассона и его решение имеет вид:

(10).

где и — точка наблюдения поля.

Область интегрирования есть область локализации токов свободных зарядов (контуров с током) и интегрирование в (10) идет по области пространства, занятой этими контурами. Зная выражения для можно найти.

Формула (11) есть закон Био-Савара-Лапласса в макроскопической магнитостатике. Формула (11) еще не предполагает, что проводники с током являются тонкими. Упростим ее, рассматривая тонкие проводники (см. условие 1).

Пренебрегая отношением, можно считать, что совпадает по направлению с элементом контура (Рис. 2).

Рис. 2. Тонкий контур с током плотности. Величина касательная к контуру во всех его точках. Вектор есть единичный вектор касательной к контуру, — координата точки контура.

Пусть, а — единичный вектор касательной к контуру. Тогда справедливо.

(12).

откуда следует, что.

(13).

где — площадь контура; - полный ток через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Ток постоянен во времени, так как поле — статистическое. Тогда в силу закона сохранения заряда ток постоянен и вдоль контура.

Вынося ток за знак интеграла в (11) и переходя от интегрирования по пространству к интегрированию по замкнутому контуру с током, получим закон Био-Савара-Лапласса для замкнутого конура с током.

(14).

Рассмотрим вопрос, в каких случаях можно использовать закон Био-Савара-Лапласса в виде (14), а в каких — выписывать его из других соображений. Выделим высокосимметричные ситуации из всех возможных ситуаций. Они важны не только потому, что поддаются простому анализу, а еще и потому, что.

• 1) используются для постановки метрологических экспериментов;
• 2) высокосимметричные ситуации как раз являются теми ситуациями, когда величине можно придать смысл характеристики источников и рассматривать ее как некое физическое поле (аналогичная ситуация имеет место в электростатике изотропных сред).

К числу высокосимметричных ситуаций можно заведомо отнести.

• 1) очень тонкий и очень длинный прямолинейный провод;
• 2) магнитное поле прямолинейного провода с током в проводнике конечной толщины с геометрией цилиндра. Радиус цилиндра конечен. Такая геометрия позволяет соотнести расчет поля с полем очень тонкого провода и потребовать совпадения результатов при бесконечно малой толщине цилиндра.
• 3) поле соленоида с током.

Приведем решение последней задачи 3. Рис. 3: — число витков на единицу длины соленоида. Стрелочками показан замкнутый контур интегрирования. Точка в кружке — ток течет на наблюдателя. Крестик в кружке — ток течет от наблюдателя. Стрелочкой с буквой изображено постоянное магнитное поле соленоида.

Рис. 3. Поперечный разрез соленоида с током, создающего магнитное поле .

Соленоид представляет собой катушку с ферритовым сердечником (сердечник состоит из материала, обладающего магнитными свойствами с магнитной проницаемостью). Будем считать катушку бесконечно длинной и обладающей большим числом витков, приходящихся на единицу его длинны. Запишем уравнение Максвелла (6.235) при и сразу в интегральной форме.

(15).

Интегрирование в (15) ведется по плоскости, одетой на контур внутри соленоида (см. Рис. 3).

Применим к (15) теорему Стокса и получим.

(16).

где — полный ток, протекающий через контур .

Пользуясь симметрией задачи, возьмем интегралы в (16). Получим.

где .

— полный ток, протекающий через контур; где — ток в обмотке соленоида; - полное число витков, проходящих через контур длинны (Рис. 3).

Очевидно, что силовые линии магнитного поля замыкаются на бесконечности (так что надо привлекать для анализа поле и уравнение. Фактически поле строится по двум уравнениям. Так что для этой ситуации, несмотря на то, что поле прямолинейной части соленоида постоянно).

Итого получаем.

(17).

В формуле (17) слева стоит величина, о которой ранее говорилось, что она не имеет прямого физического смысла. Число витков на единицу длинны создается и контролируется экспериментатором. Получим, что для соленоида имеется жесткая связь между физическими величинами и .

Поэтому поле характеризует в этой задаче систему свободных токов и ему придается статус характеристики свободных источников поля — токов. Величина характеризует подсистему свободных токов или внешний источник поля. Меняя ток будем менять величину. Меняя, на самом деле, меняем состояние магнитного сердечника соленоида. Итого всю задачу можно представлять себе как задачу о восприимчивости по отношению к полю .

На самом деле, для этой конфигурации токов оба равенства.

и.

характеризуют реакцию материала на изменение силы тока и демонстрируют возможность постановки задачи для соленоида, как задачи о нахождении восприимчивости по отношению к полю .

Рассчитаем магнитный момент контура с током для тонкого провода, помещенного в вещество.