Уравнение неразрывности. 
Система уравнений гидростатики. 
Динамика течений невязкой (идеальной) жидкости

Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике.

Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скоростей и каких-либо двух термодинамических величин, например, — давления и — плотности.

Скорость, давление и плотность жидкости будем относить к данным точкам пространства, а не к определённым частицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будем пользоваться переменными Эйлера.

Рис. 11.

Рассмотрим некоторый объём V_o пространства. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть.

Через элемент поверхности, ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество жидкости (рис. 11).

Вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в него.

Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объёма V_o

где S — поверхность, ограничивающая выделенный объём V_o.

С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объёме V_o можно записать в виде.

Приравнивая оба выражения, получаем:

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму.

Таким образом,.

Поскольку это равенство должно иметь место для любого выделенного объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т. е.

Получили уравнение неразрывности.

Расписав выражение можно записать.

В декартовых координатах.

Вектор называют плотностью потока жидкости.

Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.