Корреляционный анализ. 
Коэффициент корреляции

Корреляция (от лат. correlatio «соотношение, взаимосвязь») или корреляционная зависимость — это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.^[1]

Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение [2] либо коэффициент корреляции (или)^[1]. В случае если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической^[3].

Способы представления корреляционной связи:

график (диаграмма рассеяния) коэффициент корреляции Методы определения коэффициента корреляции и формулы метод квадратов (метод Пирсона).

ранговый метод (метод Спирмена).

Рассмотрим на применение метода квадратов.

Задание: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл.). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Решение.

Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Определить средние величины M_x ряду вариант «х» и М_у в ряду вариант «у» по формулам:

М_х = Ух/n (графа 1) и М_у = Уу/n (графа 2).

Найти отклонение (d_х и d_у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду «x» и в ряду «у» .

d_х = х — М_х (графа 3) и d_y = у — М_у (графа4).

Найти произведение отклонений d_x х d_y и суммировать их: У d_х х d_у (графа 5).

Каждое отклонение d_x и d_у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду «х» и по ряду «у»: У d_x² = 982 (графа 6) и У d_y² = 51 056 (графа 7).

Определить произведение У dx2 х У dy2 и из этого произведения извлечь квадратный корень.

Полученные величины У (dx x dy) и v (Уdx2 x Уdy2) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:

Определить достоверность коэффициента корреляции:

1й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mrxy) и критерий t по формулам:

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

2й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице «Стандартные коэффициенты корреляции» (см. приложение 1). При числе степеней свободы (n — 2)=6 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r_xу = + 0,99 больше табличного (r_табл = + 0,917 при р = 99%).

Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: r_ху = + 0,99, р > 99,9%).