Оценка программы логицизма

Основным тезисом логицизма является утверждение, что математические истины составляют собственное подмножество логических истин. Это означает, что всякая математическая истина есть логическая истина, но обратное в общем неверно. Фреге и Рассел оба интерпретировали этот тезис таким образом, что высказывания о натуральных числах суть логически истинные высказывания. И поскольку все остальное математическое здание было основано на элементарной арифметике, логическая истинность ее суждений переносилась и на все остальные этажи. Если логическую истину определить, как это обычно делается, как истину во всех возможных мирах, то становится понятным главный мотив основателей логицизма. В этом и только в этом случае необходимый характер математических истин получает объяснение. Ведь со времен Аристотеля необходимым считается то, что не может быть иначе.

Натуральное число не есть вещь, множество, свойство или представление, результат интуиции. Оно, как доказал Фреге, представляет абстракцию второго уровня, результат формирования новой операциональной структуры (в смысле Ж. Пиаже), цель которой в координации абстракций первого уровня. Исследование логической природы натурального числа, вне всякого сомнения, можно считать самым выдающимся достижением логицистов.

Современные исследования логицистской доктрины убеждают, что, несмотря на трудности, с которыми лично встретились Фреге и Рассел, их программы никаких фатальных ограничений не содержат и принципиально осуществимы.

Например, несущественно различие между Фреге и Расселом в их понимании логического статуса натуральных чисел. Являются ли они самостоятельными объектами, как полагал Фреге, или контекстуально определяемыми конструкциями, как считал Рассел. В том и другом случае натуральное число определяется как логический конструкт, что для логицистской программы является приоритетным. Также не имеет особого значения периодически выдвигаемое обвинение в том, что логицистское определение натурального числа носит круговой характер: число объявляется особым свойством класса и в то же время определяется в терминах взаимно однозначного соответствия классов. Нелогический характер аксиомы бесконечности, принимаемой Расселом и Уайтхедом, можно оправдать тем, что в противном случае должны быть отвергнуты аксиомы Пеано, а вместе с ними — и вся элементарная арифметика. Ибо если натуральные числа п и п + 1 не различаются, то третья аксиома Пеано, утверждающая, что ни за какими двумя различными натуральными числами не может следовать одно и то же натуральное число, должна быть отвергнута. Аналогично аксиому редуцируемости можно оправдать тем, что тождественные функции должны выполняться на одних и тех же уровнях иерархии типов. Иррелевантно также обвинение, что аксиома бесконечности вводит завершенный бесконечный ряд натуральных чисел (как актуальную бесконечность) и по этой причине вступает в противоречие с теоремой о невозможности существования наибольшего натурального числа и поэтому представляет ad hoc допущение. На самом деле, невозможность существования наибольшего натурального числа не противоречит допущению актуальной бесконечности натурального ряда чисел. Ведь последнее требует только, чтобы имелось хотя бы одно собственное подмножество, эквивалентное всему множеству. Значит, числа, символизирующие мощности таких множеств и их собственных подмножеств, будут одинаковы. Но именно это и означает, что существование наибольшего натурального числа невозможно.

Самым важным вопросом при оценке логицистской программы является поэтому следующий: насколько она изменила бы развитие математики, если бы ее приняло большинство математиков? Если исходить из духа и буквы логицистской концепции, предлагаемое обоснование должно исключить все, что является в математике, и прежде всего в ее предпосылках, ненеобходимым — эмпирическим, интуитивным, психологическим. Основоположникам логицизма казалось, что самый близкий и эффективный путь для достижения такой цели — последовательная логическая перестройка всей математики, начиная с ее оснований и заканчивая ведущими разделами, превращение ее в одно общее исчисление. Однако именно то, что они исключили ради достижения надежности и строгости математики, с точки зрения обоснования математики оказывается для нее самым важным. Обоснование математики неотделимо от интеллектуальных, логических и, возможно, культурных предпосылок. Их игнорирование превращает математику в абсолютно замкнутую и, как мы знаем, принципиально неполную систему и лишает ее источника развития.

В результате предпринятой атаки логицисты не только отбросили все, что на самом деле было существенным для обоснования математики, но и столкнулись с фундаментальной для всякого обоснования закономерностью — результаты обоснования оказались независимыми от его предпосылок, а также мотивов и целей его авторов. Самый яркий пример такой независимости — противоположная реакция Фреге и Рассела на открытие парадоксального характера понятия класса всех классов. Они оба начали свою работу с безупречного с логической точки зрения определения натурального числа и успешной формализации всей элементарной арифметики. Оба столкнулись с одним и тем же парадоксом. Если Фреге отказался на длительное время от продолжения своей работы по обоснованию математики, признав ее бесперспективность, то Рассел (вместе с Уайтхедом), наоборот, попытались завершить ее, предложив свой вариант решения парадокса. Другой пример. Важнейшим следствием развития логицизма (и формализма), которое носило вспомогательный характер, стало создание современной символической логики. Будучи побочным, этот результат по своему значению превосходит все остальные достижения логицистов.

Вывод очевиден: успешное начало не гарантирует успешного завершения. Никакой предопределенности в развитии математики не существует. Результаты обоснования независимы от самих оснований. Даже в математике не всегда требуется скрупулезное обоснование каждого шага. Проблема обоснования математики в той постановке, как ее понимает подавляющее большинство аналитиков, бессмысленная проблема. Никакого единственного надежного основания для здания всей математики не существует. Математика всегда начинала с определенных гипотез, сводила их решение к решению известных гипотез и в результате приходила к потребности выдвижения новых гипотез. Дедукция ее утверждений основана большей частью на их семантической связи. Поэтому необходимость математических суждений не только гипотетична, но и конвенциальна, ибо отражает их смысловую связь и зависимость, критерий ее успеха — в совместимости разрабатываемых гипотез с уже достигнутыми результатами.

Математика, которую построили логицисты, оказалась не только независимой от своих логически безупречных оснований, но, будучи избавленной от всех ненеобходимых предпосылок, превратилась в замкнутую относительно дедуктивного следования систему утверждений, лишенную спонтанных и творческих импульсов к развитию и совершенствованию. Только на первый взгляд кажется, что математика — настолько самодостаточная система знаний, что никакие внешние, нематематические факторы для ее развития не требуются. Это неверно в двух смыслах. Во-первых, потому что функционирование любой отрасли знания так или иначе обусловлено общественными потребностями и запросами. Во-вторых, потому что математика никогда не была жестко отделена от других видов естественнонаучного и гуманитарного знания. Достаточно указать на теорию игр, которая, будучи математической дисциплиной, возникла в результате необходимости совершенствования системы управления в военное время и продолжает успешно эволюционировать в основном благодаря удовлетворению разнообразных общественных запросов и потребностей.

Ограниченная отношением дедукции, программа обоснования математики логицистов оказалась в высшей степени нетворческой доктриной. В ее терминах не объясняются революционные этапы развития математики, креативный, спонтанный характер математических инноваций. Кризисы и парадоксы, с точки зрения логицистов, — ничего более, чем логические и тем самым недопустимые ошибки. Творческое озарение с возможными отклонениями и их последующей коррекцией было принесено в жертву логической корректности и принудительной последовательности выводов. Неудивительно, что, в отличие от символической логики, собственно логицистская программа не получила широкого признания и распространения в математической среде.