Лазерные импульсы с огибающей, имеющей компактный носитель

Решение в общем виде

Рассмотрим простейшую модель движения изначально покоящейся заряженной частицы в поле плоского монохроматического электромагнитного импульса, когда огибающая векторного потенциала импульса имеет компактный односвязный носитель:

.

Вообще носителем некоторой функции называется замыкание области, на которой эта функция отлична от нуля. Односвязность предполагает, что есть только одна такая замкнутая область. Представим векторный потенциал, удовлетворяющий этому условию, в виде:

,.

(2.63).

Время отсчитывается от прихода переднего фронта в точку, где находилась частица. Из (2.6) и (2.63) поле импульса равно:

.

(2.64).

(2.65).

Начальную пространственную координату покоившейся частицы выберем равной нулю. Тогда из (2.24), (2.23) и (2.63) получаем:

, , .(2.66).

Импульс и энергию частицы получаем из (2.17), (2.18), (2.15), (2.63), (2.66):

, , (2.67).

(2.68).

Из (2.67) видно, что x-компонента импульса может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а z-компонента исключительно неотрицательна, что должно в дальнейшем приводить к смещению частицы вдоль оси z.

Из (2.12) и (2.68) компоненты скорости частицы описываются не столь тривиальными формулами:

,.

. (2.69).

Можно подсчитать, что энергия частицы (2.68) имеет локальные максимумы в тех точках, где выполняется условие.

. (2.70).

Легко показать, что скорость (2.69) будет иметь локальные максимумы в тех же самых точках. Вдали от фронтов импульса (т.е. вблизи «середины» импульса) производная от огибающей мала, поэтому угол (2.65) примерно равен, а энергия (2.68) имеет локальные максимумы вблизи точек .

Координаты частицы находим, подставив (2.64) и (2.66) в (2.22):

,.

. (2.71).

Обратим внимание на то, что координата x частицы (2.71) не всегда после прохождения импульса возвращается на прежнее нулевое значение. А именно, это не происходит, когда положительная и отрицательная площади под графиком подынтегрального выражения в формуле для x не уравновешивают друг друга. Например, такое может быть, когда фронты импульса ассиметричны. Следовательно, при некоторых условиях данный эффект можно было бы использовать для обнаружения асимметричности фронтов импульса. Более подробно об этом эффекте будет сказано в п. 2.3.4. Подынтегральная функция в выражении для координаты z неотрицательна, поэтому координата z частицы с течением времени не уменьшается. Аналитические случаи интегрируемости конструкций, находящихся под интегралами выражений (2.71), были рассмотрены нами в п. 2.2.

В нерелятивистском пределе, когда параметр, считаем, что, тогда из (2.67), (2.69) и (2.71) имеет место пренебрежимо малое смещение частицы вдоль направления распространения электромагнитного импульса. Частица лишь совершает колебания вдоль электрической компоненты волны (параллельной оси x).

Обобщение выражений (2.64)-(2.71), полученных для линейно поляризованного импульса (2.63), на случай эллиптически поляризованной электромагнитной волны — тривиально.