Параллельный перенос. 
Геометрия: планиметрические задачи на построение

Определение 4.9. Параллельным переносом называется преобразование плоскости, в котором соответственные точки М и М' удовлетворяют условию ММ' = а, где а — некоторый постоянный вектор.

Параллельный перенос на вектор а обозначается T_d. Если, а = 0, то Г_й — тождественное преобразование (это преобразование, которое все точки плоскости отображает сами на себя).

Перечислим основные свойства параллельного переноса (конечно же, имеется в виду параллельный перенос, осуществляемый на расстояние, не равное нулю, в противном случае это было бы тождественное преобразование).

• 1. Параллельный перенос неподвижных точек не имеет.
• 2. Всякая прямая, параллельная вектору переноса, — неподвижная. Других неподвижных прямых нет.
• 3. Если Г_й(0 = Y, то V || I. В параллельном переносе прямая отображается на параллельную ей прямую.
• 4. Если Т_Й(А) = А', Г_а(В) = В', то [АВ) ТТ [А'В'). В параллельном переносе луч отображается на сонаправленный с ним луч.
• 5. В параллельном переносе неизменным является направление любой прямой.
• 6. Параллельный перенос — перемещение I рода.

Рассмотрим простейшую задачу на построение, решение которой основано на свойстве параллельного переноса.

Задача 4.3. Даны две точки, А и В по разные стороны от прямой d. Построить на прямой d отрезок MN данной длины к так, чтобы длина ломаной AMNB была наименьшей.

Решение

Условие задачи позволяет однозначно определить вектор параллельного переноса а так, чтобы а || d, |d | = к (рис. 4.5).

Рис. 4.5.

Если Г_а(А) = А', Г_Й(М) = N', то AM = A’N. Имеем, что AM + MN + NB = = A’N + MN + NB. Длина ломаной AMNB будет наименьшей, если сумма A’N + NA будет наименьшей. Это возможно в том случае, когда точки A', N, В лежат на одной прямой. После проведенных рассуждений решение задачи становится очевидным.