Теорема об изменении кинетической энергии системы

Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

. (27).

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение тела. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс, следовательно, и формула (27) дает:

или. (28).

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг оси Оz (см. рис. 90), то скорость любой его точки, где — расстояние точки от оси вращения, а — угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (27) и вынося общие множители за скобки, получим.

.

Величина, стоящая в скобках представляет собой момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем.

(29).

т.е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС) Р (рис. 91). Следовательно, по формуле (29) получим:

(30).

где JP — момент инерции тела относительно названной выше оси, — угловая скорость тела. Ведем вместо JP постоянный момент инерции JC относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 56):

.

где d=РС.

Рис. 16.

Подставим это выражение для JP в (30). Учитывая, что точка Р — МЦС и, следовательно,, где — скорость центра масс С, найдем.

или.

. (31).

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия равна энергии поступательного движения, со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.