Практическая часть. 
Математические фокусы и их секреты

Фокусы с одним и тем же предметом могут иметь разные секреты. Я рассмотрела много фокусов с различными предметами, имеющими математическую основу.

Фокусы с угадыванием чисел

Фокус 1: Зрителей просят загадать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить результат. Фокусник угадывает задуманное число.

Секрет фокуса. Фокусник угадывает задуманное число, прибавив к полученному у зрителя числу число 2. Пусть х — задуманное число,.

Фокус 2: Зрителей просят загадать любое число от 1 до 9, слева приписать к нему 1, из полученного числа вычесть 5, к результату прибавить 2, из полученного числа вычесть 7. Фокусник сообщает, что получилось число, которое было загадано.

Секрет фокуса. Если приписать слева к числу 1, число увеличится на 10, после прибавления 2 еще увеличится на 2, т. е. всего на 12. При вычитании 5 и 7 число уменьшается на 12. Таким образом, в результате получится задуманное число.

Фокус 3: «Угадать дату рождения». Зрителей просят умножить число рождения на 2, прибавить 5, умножить на 50 и прибавить порядковый номер месяца. От того числа, что получилось, отнять 250 и сообщить результат. Фокусник угадывает день рождения и месяц.

Секрет фокуса. Две последние цифры полученном в числе — порядковый номер месяца, первые — число рождения.

Фокус 4: Для обучения этому фокусу примем или условимся называть большей частью нечетного числа ту его часть, которая на 1 больше другой. Так, у числа 13 большая часть равна 7, у числа 21 большая часть равна 11. Задумайте число. Прибавьте к нему его половину, или, если оно нечетное, то его большую часть. К этой сумме прибавьте ее половину или, если она нечетная, то ее большую часть. Разделите полученное число на 9, сообщите частное, и если получится остаток, то скажите, больше он, равен или меньше пяти. В зависимости от полученного ответа на вопрос задуманное число равно:

— учетверенному частному, если нет остатка; - учетверенному частному +1, если остаток меньше пяти; - учетверенному частному + 2, если остаток равен пяти; - учетверенному частному + 3, если остаток больше пяти;

Пример: Задумано 15. Выполняя требуемые действия, имеем:

• 15 + 8 = 23, 23 + 12 = 35, 35: 9 = 3 (в остатке 8). Сообщено: «частное три, остаток больше пяти». Угадываем: 3 * 4 + 3 = 15. Задумано 15. Докажите и этот математический фокус. При обдумывании доказательства советую принять во внимание, что всякое целое число (значит, задуманное) может быть представлено в виде одной из следующих форм:
• 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3,

где букве n можно придавать значения: 0, 1, 2, 3, 4, …

Загадка на внимательность

Шел Кондрат В Ленинград, А навстречу — двенадцать ребят.

У каждого по три лукошка, В каждом лукошке — кошка, У каждой кошки — двенадцать котят.

У каждого котенка В зубах по четыре мышонка.

И задумался старый Кондрат:

Сколько мышат и котят Ребята несут в Ленинград?

Часто зрители пытаются сосчитать котят и мышат, на самом деле ответ прост:

Глупый, глупый Кондрат!

Он один и шагал в Ленинград.

А ребята с лукошками, С мышами и кошками Шли навстречу ему ;

В Кострому.

Угадывание суммы

Показывающий поворачивается спиной к зрителям, а в это время кто-нибудь из них бросает на стол три кости. Затем зрителя просят сложить три выпавших числа, взять любую кость и прибавить число на нижней ее грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число опять прибавить к сумме. Показывающий обращает внимание зрителей на то, что ему никоим образом не может быть известно, какую из трех костей бросали дважды, затем собирает кости, встряхивает их в руке и тут же правильно называет конечную сумму.

Секрет фокуса. Прежде чем собрать кости, показывающий складывает числа, обращенные кверху. Добавив к полученной сумме семерку, он находит конечную сумму.

Вот еще один остроумный фокус, основанный на принципе семерки.

Показывающий, повернувшись спиной к зрителям, просит их составить столбиком три игральные кости, затем сложить числа на двух соприкасающихся гранях верхней и средней костей, потом прибавить к полученному результату сумму чисел на соприкасающихся гранях средней и нижней костей, наконец, прибавить к последней сумме еще число на нижней грани нижней кости. В заключение столбик накрывается платком.

Теперь показывающий поворачивается к зрителям и вынимает из кармана горсть спичек, количество которых оказывается равным сумме, найденной зрителем при сложении пяти чисел на гранях кубиков.

Как только зритель сложит свои числа, показывающий на мгновение поворачивает голову через плечо якобы для того, чтобы попросить зрителя накрыть столбик платком. В самом же деле он в это время успевает заметить цифру на верхней грани верхнего кубика. Допустим, это шестерка. В кармане всегда должна быть 21 спичка. Захватив все свои спички, показывающий, вынимая руку из кармана, роняет шесть из них обратно. Иными словами, он вытаскивает все спички без стольких, какова цифра наверху столбика. Это число спичек и даст сумму цифр на пяти гранях.

То обстоятельство, что зритель складывает числа на соприкасающихся гранях соседних кубиков, а не взаимно противоположные числа одного и того же кубика, служит хорошей маскировкой применения принципа семерки.

Этот фокус можно демонстрировать и без использования принципа семерки. Следует лишь заметить цифры на любых двух гранях каждого из кубиков.

Дело в том, что существуют только два различных способа нумерации костей, причем один из них является зеркальным отображением другого и, более того, все современные игральные кости нумеруются одинаково: если держать кубик так, чтобы была видна тройка 1, 2 и 3, то цифры в ней будут расположены в порядке, обратном движению часовой стрелки (рис.). Рисуя себе мысленно взаимное расположение цифр 1, 2, 3 и вспоминая принцип семерки, чтобы представить себе местонахождение Цифр 4, 5, 6, можно, глядя сбоку на столбик (верхнюю грань верхнего кубика предварительно накрывают монетой), правильно назвать число на верхней грани любого кубика.

При хорошем пространственном воображении и небольшой практике этот фокус можно показывать с поразительной быстротой.

Математический фокус Дэвида Копперфильда

Фокусы знаменитого иллюзиониста Дэвида Копперфильда восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством его воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособлений. Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее Копперфильду удалось найти эффектную подачу одного такого фокуса, описанного в известной нашим читателям книге Мартина Гарднера «Математические чудеса и тайны» (М.: Наука, 1978). Фокусник не только приглашает поучаствовать в нем всех зрителей в зале, но делает активным участником представления каждого телезрителя.

Происходит это следующим образом. Фокусник размещает на экране пятнадцать предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке — 12, а в хвостике — 3. У Копперфильда кружки заменены одной звездочкой и двумя стрелками (в хвостике) и картинками (в колечке), изображающими среди прочего самые известные в мире достопримечательности: Эйфелеву башню, Египетские пирамиды, Статую Свободы и т. д. Зрителям предлагается задумать любое число больше трех (предположим, семь) и отсчитать его сверху вниз, начиная с первой звездочки, по хвостику и далее по колечку против часовой стрелки (рис. 1). Затем фокусник просит зрителей снова посчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором они остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка (рис. 2). Предмет, на который при счете попадает задуманное число, на рисунках затенен.

В принципе фокус может быть закончен уже на этой стадии, но Копперфильд идет дальше. Он уверенно снимает с экрана ряд предметов, заявляя, что они лишние и зритель остановиться на них не мог (рис. 3). Затем снова предлагает отсчитать в любом направлении еще четыре предмета, начиная с соседнего от того, на котором остановился каждый зритель на предыдущем шаге (рис. 4). Удивительно то, что в результате этих манипуляций все указывают на один и тот же предмет.

Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбором. Они основаны на том, что, независимо от варианта схемы (количества звездочек на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число. При всей кажущейся сложности объяснение этих фокусов достаточно простое.

Итак, независимо от того, какое первоначальное число задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки, в данном случае три звездочки, наложить на колечко по часовой стрелке, начиная с предмета, следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке (рис. 5). Все остальные манипуляции фокусника — лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В зависимости от фантазии фокусника, он может на каком-то этапе даже снять с экрана предмет, на котором остановился зритель, при первоначальном счете, — ответ все равно будет для всех одинаковый.

Теперь легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех): только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть на кольцо — основную фигуру для манипуляции.

Узнав секрет фокуса, вы можете модернизировать его по собственному усмотрению.

В заключение предлагаем вам некоторую вариацию описанного фокуса — угадывание задуманного числа на циферблате часов. Попытайтесь разгадать его самостоятельно.

Фокус начинается с того, что зритель задумывает какое-нибудь число от 1 до 12. Фокусник берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов, причем делает это, по-видимому, в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про себя прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе.

Психологические моменты

Ещё одна категория фокусов с числами основана на том, что называют психологическими моментами. Эти фокусы не всегда получаются, но по каким-то неведомым причинам психологического характера шансы на успех при их демонстрации оказываются значительно большими, чем этого можно было ожидать.

Мною был проведён опрос среди учащихся 7 — 10 классов. Он включал в себя следующие задания:

• 1. Назовите любое число от 1 до 10.
• 2. Назовите любое число от 1 до 5.
• 3. Назовите двузначное число между 1 и 50, чтобы обе его цифры были нечётными и различными. Число 11 называть нельзя.
• 4. Назовите двузначное число от 50 до 100, чтобы его цифры были чётными и различными.