Комбинаторные задачи как средства развития мышления школьника

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. [17].

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.

КОМБИНАТОРИКА — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т. д.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д.

Комбинаторика становится наукой лишь в 18 веке — в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в 18 веке итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тартальей, и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 году работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторный» .

Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л.Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит применение во всех областях науки и техники: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, в механике и т. д.

По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие изучаемых ею вопросов, многие из них имеют одно и то же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выяснилось несколько основных типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем. Важную область комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно пересчитать число решений различных комбинаторных задач.

Рассмотрим основные типы комбинаторных задач:

1) Задачи на перечисление В этих задачах ставится вопрос о числе конфигураций того или иного вида. Примером может служить задача о числе сочетаний из n элементов по k. Здесь конфигурации — это все подмножества, состоящие из k элементов, данного множества, состоящего из n элементов. Их число равняется биномиальному коэффициенту.

Для решения перечислительных задач разработано немало общих приемов. Часто удается найти ответ путем сведения поставленной задачи к ситуации, когда может быть применён какой-либо из известных приемов. Укажем несколько распространенных способов решения задач перечисления.

• 1. Правило суммы.
• 2. Правило произведения.
• 3. Принцип включения — исключения.

Перечислительные комбинаторные задачи тесно связаны с теорией вероятностей.

2) Задачи существования и построения Эти задачи сводятся к доказательству существования достаточно редких конфигураций с какими-либо интересными свойствами, а именно к построению магических и латинских квадратов.

3) Задачи выбора В этих задачах изучаемая конфигурация заведомо существует, но ставится вопрос о таком выборе составляющих ее частей или элементов множества, на котором она определена, чтобы выполнялись какие-либо интересующие нас условия.

К классу комбинаторных задач выбора принадлежат широко распространенные экстремальные задачи, то есть задачи о максимуме и минимуме. Задачи такого рода весьма характерны для многих сторон человеческой деятельности.