Взаимная индукция. 
Электромагнетизм, оптика, квантовая физика

Рассмотрим два контура с токами /j и /о (рис. 8.7), расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Ток в первом контуре создает магнитное поле, поток Фо которого через второй контур, очевидно, пропорционален силе тока Д:

Аналогично, магнитный поток Ф] через первый контур поля, создаваемого током во втором контуре, пропорционален силе тока /2:

Коэффициенты пропорциональности Li₂ и L₂i называются взаимной индуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, в которой находятся контуры.

Рис. 8.7. Взаимная индукция.

Рассмотрим простой пример. Пусть на одном цилиндрическом каркасе имеется две обмотки, образующие два соленоида одинаковой длины / (рис. 8.8). Число витков одного соленоида равно N_t а второго — УУ₂. Найдем коэффициенты Li и L₂1 для этой системы.

Рис. 8.8. К вычислению коэффициента взаимной индукции.

Предположим, что в первом соленоиде течет ток /ь, а во втором — /₂. В силу (7.17) напряженность магнитного поля тока 1 внутри соленоида.

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков второго соленоида.

Так как поле внутри соленоида однородно, потоки через все витки оди каковы. Поэтому потокосцепление.

Отсюда согласно определению (8.38) получим.

Аналогично, напряженность поля, создаваемого током /2, будет.

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков первого соленоида.

Поэтому потокосцепление.

Отсюда найдем, что Это равенство справедливо для двух любых контуров и составляет содержание теоремы взаимности.

Вычислим энергию магнитного поля двух соосных соленоидов. Векторы напряженности полей, создаваемых токами /1 и /2, внутри соленоидов коллинеарны. Если токи /1 и /2 текут в одном направлении, то векторы Н и #2 сонаправлены. В этом случае суммарное магнитное поле характеризуется напряженностью:

Если же токи 1 и /2 текут в разных направлениях, то векторы Н и Яг направлены противоположно друг другу. При этом модуль напряженности магнитного поля.

Энергию однородного магнитного поля найдем по формуле (8.28):

При помощи формул (8.22) и (8.40), запишем это выражение так:

где первое слагаемое есть энергия тока в первом соленоиде, второе — энергия тока во втором, а третье слагаемое называется взаимной энергией. Формула (8.42) справедлива в общем случае для двух произвольных контуров.

Задача. Найти взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение. Внутренний радиус тороида равен а, внешний — 6, а его высота — h. Число витков в катушке — N. Магнитная проницаемость окружающей среды — /1.