Математическая модель аналогового сигнала

Для того чтобы сделать сигнал объектом теоретического изучения или практических расчетов, необходимо указать способ его математического описания или, другими словами, создать математическую модель сигнала. Последовательно рассматривая основные значения термина «модель», автор монографии «Моделирование и философия» В. А. Шгофф предлагает следующее определение: «Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая и воспроизводя объект, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте». Математической моделью называют совокупность математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Математические модели позволяют анализировать свойства сигналов и синтезировать сигналы с требуемыми свойствами.

В простейшем случае математическая модель сигнала устанавливает соответствие между любым моментом времени / € Т и величиной сигнала хе X, где Т — ограниченный или бесконечный интервал времени, называемый областью определения сигнала, X — множество возможных значений сигнала. Это соответствие может быть задано в форме скалярной функции x (t). Например, функция Г 10-sin5t, t >0, x (t) = (.

[О, t < 0.

описывает сигнал, который изменяется на интервале [0, оо) по синусоидальному закону с амплитудой 10 единиц и частотой 5 рад/с. В более сложных случаях модель содержит математические соотношения, которые характеризуют некоторые обобщенные свойства сигнала.

Создание математической модели — это первый и очень важный этап изучения физического процесса или явления. Во-первых, математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной физической природы носителя сигнала. При этом она приобретает определенную универсальность, то есть способность описывать различные по своей физической природе процессы или по техническому назначению объекты. Одна и та же математическая модель может описывать изменение тока, напряжения, давления, температуры и т. д.

Во-вторых, математическая модель создается так, чтобы она описывала именно те свойства сигнала, которые наиболее важны для конкретного исследования. Необходимо учитывать, что математическая модель может хорошо работать в одних условиях и быть совершенно неприемлемой в других. Любая математическая модель имеет свою область применения и эта область, как правило, может быть определена только в результате многократного применения модели. Поэтому при составлении математической модели большое значение приобретают экспериментальные исследования и практический опыт.

Большое значение при выборе математической модели сигнала имеет ее сложность. Математическая модель, с одной стороны, должна быть достаточно сложна, чтобы отображать существенные свойства изучаемого процесса или явления, а, с другой стороны, достаточно проста, чтобы использовать более простые математические методы анализа.

Очевидно, чем полнее математическая модель отражает свойства сигнала, тем шире область се применения, тем больший круг задач позволяет она решать. В то же самое время, чем полнее математическая модель, тем она сложнее, тем больше трудностей следует ожидать при исследовании из-за необходимости привлекать более сложные математические методы. Поэтому математическая модель сигнала нс должна содержать больше подробностей, чем это необходимо для решения данной задачи.