Квантовые газы. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Бозоны и фермионы. Принцип Паули

Большинство из известных микроскопических частиц (атомов, молекул и элементарных частиц) обладает некоторым внутренним строением, которое может изменяться с течением времени. Множество различных внутренних состояний любой микрочастицы является конечным или счетным. Пусть а есть дискретная переменная величина, взаимно однозначно характеризующая внутреннее состояние частицы. В некоторых случаях эту величину удобно рассматривать как номер состояния. Если внутреннее состояние частицы изменяется с течением времени, то ее волновая функция должна содержать в себе в качестве аргумента переменную величину а, которая определяет внутреннее состояние частицы:

Теперь физический смысл волновой функции можно выразить следующим образом. Величина.

есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t внутри объема dV при векторе г в состоянии а. При этом волновая функция должна удовлетворять условию нормировки.

где суммирование производится по всем внутренним состояниям частицы, т. е. по всем возможным значениям переменной <�т.

Для краткости записи математических выражений совокупность величин г на обозначим одной буквой.

В этих обозначениях волновая функция будет выглядеть так:

При этом условие нормировки запишем в символической форме.

где интеграл по q обозначает интегрирование по пространству и суммирование по внутренним состояниям частицы.

Внутреннее состояние элементарной частицы характеризуется вектором s собственного момента количества движения, который называют спином. Составные частицы, такие как атомы и их ядра, также обладают моментом количества движения. Установлено, что модуль вектора s определяется формулой.

где s — так называемое спиновое квантовое число. Все частицы, изучаемые в квантовой механике, делятся на два класса. Для одних частиц величина 5 принимает целые значения:

Такие частицы называют бозонами. Для других частиц спиновое число принимает «полуцелые» значения:

Такого типа частицы называют фермионами. Большинство элементарных частиц (например, электроны, протоны и нейтроны) характеризуются спиновым числом s = ^ и являются фермионами. Атом гелия Не^л относится к классу бозонов, так как его момент количества движения $ в состоянии с наименьшей энергией равен нулю.

Рассмотрим систему, состоящую из некоторого числа N одинаковых микроскопических частиц. Положения этих частиц в пространстве определяются радиус-векторами г, гг, …, гдг, а их внутренние состояния — дискретными величинами сг₂, …" Совокупность значений всех этих величин определяет микросостояние, а многочастичной системы. Статистическое описание поведения системы частиц осуществляется в квантовой механике посредством волновой функции.

Зная эту функцию, можно вычислить вероятность dW того, что в момент времени t одна из рассматриваемых частиц находится внутри объема dV при г 1 в состоянии <7i, другая — внутри объема dV% при г₂ в состоянии.

<�т₂ и т. д.:

где плотность вероятности.

Для краткости введем обозначения.

при помощи которых волновую функцию (9.3) многочастичной системы представим в виде.

При этом плотность вероятности.

Микроскопические частицы не имеют индивидуальных особенностей. Иначе говоря, не существует способов отличить одну от другой две частицы одного и того же сорта. Например, невозможно отличить один электрон от другого. Из этого следует, что две совокупности.

которые характеризуют микросостояния системы, состоящей из N тождественных частиц, и отличаются одна от другой только перестановкой двух элементов, соответствуют на самом деле одному и тому же микросостоянию а этой системы.

Рассмотрим систему из двух тождественных частиц. Такую систему в квантовой механике описывают посредством волновой функции.

При этом плотность вероятности.

В силу тождественности частиц состояния, а и а' системы, характеризуемые многомерными величиными {gi, g₂} и {g₂, gi}, совершенно одинаковы. Следовательно, вероятности найти систему из двух частиц в состоянии, а или а' должны быть равны:

или.

Раскрыв модули в этом равенстве, получим соотношение.

где ф — некоторая вещественная постоянная. Запишем это соотношение еще раз, поменяв местами аргументы q и q₂'

Из этих соотношений найдем, что т. е.

Теперь соотношение (9.9) можно записать так:

Из этого соотношения следует, что при перестановке аргументов q и q₂ волновая функция ф = ф (1, q, q₂) или вообще не изменяется, или только изменяет знак. В первом случае волновая функция ф = q. ^2) на;

зывается симметричной, а во втором — антисимметричной. Очевидно, что симметрия волновой функции не должна изменяться с течением времени. Одни системы частиц всегда описываются симметричными функциями, а другие — антисимметричными. Установлено, что системы бозонов описываются симметричными волновыми функциями, а системы фермионов — антисимметричными.

Положим в этом равенстве q = q₂ = q. Получим Проекция спина электрона на произвольное направление может быть равна или — ^h, или Таким образом, электроны относятся к классу фермионов. Для системы двух электронов равенство (9.10) принимает вид.

Из этого равенства следует, что два электрона в одной и той же системе не могут находиться в одном состоянии. Это утверждение составляет содержание принципа Паули (Вольфганг Паули (1900 — 1958) — немецкий физик).