Исследование некоторых конкретных систем управления запасами, описываемых моделями регенерации

Обзор основных характеристик построенной модели

В качестве примера математического исследования конкретной модели управления запасом рассмотрим работу Шнуркова П. В. и Пименовой Е. Ю. [5]. В этом параграфе приведены все основные теоретические результаты данной работы. Отметим, что аналогичные исследования проведены в работах [1], [2], [3], [4].

Экономическая система, представляет собой отдельный (изолированный) склад, в котором хранится один вид продукта. Объём запаса данного продукта на складе в момент времени t обозначается через Этот параметр может принимать значения на множестве вещественных чисел (-, где — заданная величина (максимальная вместимость склада). Этот параметр непрерывен.

Спрос на товар является детерминированной величиной. Скорость потребления продукции определяется постоянным параметром Заказ на поставку данного товара происходит через случайное время, то есть играет здесь роль параметра управления. Если же случайная величина принимает некоторое фиксированное значение, то величина является решением (управлением). И тогда функция распределения является управляющим распределением. Поставка продукции на склад, пополняет уровень запаса до уровня. В момент заказа начинается, так называемый, период задержки поставки, то есть время, в течение которого выполняется заказ на пополнение запаса. Период задержки является заданной детерминированной величиной. В этот период потребление продукта продолжается с той же заданной скоростью б>0.

В момент окончания периода задержки поступает заказанная партия продукта и начинается, так называемый, период непосредственного пополнения. В этот период потребление прекращается, а пополнение производится со скоростью л>0.

Нетрудно заметить, что если время до момента заказа равно u, а длительность периода задержки рана, то длительность периода непосредственного пополнения запаса равна величине .

В момент окончания периода непосредственного пополнения запас продукта в системе принимает значение. После этого вновь планируется момент следующего заказа на пополнение. Эволюция системы после пополнения и достижения уровня происходит независимо от прошлого и по тем же самым закономерностям.

Пример возможного поведения процесса :

uвремя до момента заказа, реализация случайной величины, имеющей распределение G (u).

— неслучайная длительность задержки поставки (известная величина).

— длительность непосредственного пополнения флu=x — случайный уровень заказа б — скорость потребления лскорость пополнения.

x (t) — случайный процесс. Тогда момент t является объемом запаса в системе, а моменты пополнения запаса в системе до максимального уровня. Зафиксируем момент. Случайное время на периоде от момента до момента следующего пополнения как, .

Тогда выполняются следующие равенства:

— момент следующего заказа,.

— момент начала непосредственного пополнения,.

— момент следующего пополнения запаса.

Траектория случайного процесса x (t) определяется соотношением:

x (t)= х (, ,.

x (t)=, ,.

Случайный процесс x (t) является управляемым регенерирующим процессом, моментами регенерации которого являются моменты {}. Случайная величина представляет собой управление на интервале регенерации []. Распределение есть управляющее вероятностное распределение.

Стратегия управления запасом заключается в выборе такой функции распределения, которая при оптимальном процессе x (t) доставляет экстремум некоторому показателю качества I (G).

Стоимостные характеристики, связанные с функционированием рассматриваемой системы. — затраты, связанные с хранением реального запаса, объемом x, x > 0 в единицу времени;

— штрафы (потери), связанные с дефицитом продукта объема x, x<0, в единицу времени, ;

— фиксированная плата за поставку продукта объема .

(x) — цена поставки потребителю единицы продукта в единицу времени при условии, что объем имеющегося запаса равен x > 0;

(x) — цена поставки потребителю единицы продукта в единицу времени при условии, что в системе имеется дефицит объема x, x < 0.

Функции (x), (x) предполагаются заданными. В дальнейшем эти функции будут входить в представление для целевого функционала — показателя качества управления в рассматриваемой модели.

Оптимальная стратегия управления запасом определяется функцией распределения, которая доставляет экстремум выбранному показателю качества управления, т. е. функционалу средней удельной прибыли на преиоде регенерации.