Исходные данные. 
Моделирование теплового поля однородного стержня

Постановка задачи

Имеется однородный стержень длиной L, один конец которого соединен с идеальным теплопроводом. В момент времени к свободному концу стержня прикладывается «тепловая ступенька». Мощность источника тепла достаточна для поддержания постоянной температуры на свободном конце стержня, а отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении.

Требуется формализовать задачу, получив уравнения теплопроводности непосредственно в конечных разностях, и решить ее методом явных разностных схем, определив температурный профиль по длине стержня в заданный момент времени .

Рис. 1. Однородный стержень

Формализация задачи

Данная задача — одномерная, так как по условию отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении, то есть тепловые потоки в поперечных направлениях стержня равны нулю. Выделив из стержня элементарный объем, можно записать уравнение баланса количества теплоты, предварительно разделив обе части уравнения на объем элемента и рассматриваемый период времени ф:

где J_x⁺, J_x^- — удельные плотности входящего и выходящего тепловых потоков;

h_x — длина элементарного объема;

и_i^s+1— и_i^s — приращение температуры элементарного объема i за время ф;

s-номер шага по времени, т. е. номер временного слоя.

Рис. 2. Элементарный объем Считая, что свойства среды линейны, на основании закона Фурье рассматриваемые тепловые потоки можно выразить через разности температур соседних объёмов и получить уравнение в явной форме:

(2).

Уравнение (2) содержит одну неизвестную — .