Назовите свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины. По каким формулам они находятся для дискретных и непрерывных случайных величин? Что называется средним квадратичным отклонением?

Закон распределения полностью определяет дискретную случайную величину. Однако иногда удобнее характеризовать её с помощью нескольких числовых характеристик, каждая из которых определяет одно из свойств этой случайной, величины. Одной из таких числовых характеристик является математическое ожидание.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Математическим ожиданием М () дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности:

(10.1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2. Математическим ожиданием М () непрерывной случайной величины с плотностью распределения (х) называется:

(10.2).

Перечислим свойства математического ожидания.

• · Математическое ожидание константы равно константе: М© = С.
• · Постоянный множитель выносятся за знак математического ожидания:

.

· Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: .

• · Математическое ожидание двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .
• · Для n независимых случайных величин ₁,. .. , _n, математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий:

.

Кроме среднего значения случайной величины, полезно было бы знать характеристику степени их разброса вокруг среднего значения. В качестве такой характеристики разброса случайной величины вокруг её среднего значения рассматривают математическое ожидание квадрата отклонения (дисперсию).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.3. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математическою ожидания:

(10.3).

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формулам:

• (10.4) .
• (10.5)

С учетом формулы (10.2) для непрерывной случайной величины.

Свойства дисперсии:

• ·, поскольку все слагаемые в формуле (10.2 — 10.4) неотрицательные.
• · .

· .

· Для независимых случайных величин и:. Это свойство распространяется на сумму любого числа независимых случайных величин.

Вероятностный смысл дисперсии заключается в том, что она характеризует степень рассеяния случайной величины около её среднего значения (математического ожидания).

Однако, если среднее значение М () имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, то D () имеет другую размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Это не всегда удобно, поэтому ввели другую характеристику рассеяния (среднее квадратическое отклонение), имеющую ту же размерность, что и сама случайная величина.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.4. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из ее дисперсии:

(10.6).

Свойства среднего квадратического отклонения:

· .

• · .
• · .