Методы решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений

• 1) Сведение к одному уравнению n-ого порядка. (Этот метод мы разбирали выше)
• 2) Решение ЛОСДУ с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера).

Пусть дана система n линейных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:

(11).

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения:

.

Ищем решение системы в виде:

X1=б1ekt, X2=б2ekt,… Xn=бnekt. (12).

Требуется определить постоянные б1, б2,…, бn и k так, чтобы функции б1ekt, б2ekt,…, бnekt удовлетворяли системе уравнений (11). Подставим их в систему (1), получим:

Сократим на ekt. Перенося, все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при б1, б2,…, бn, получим систему уравнений:

(14).

Выберем б1, б2,…, бn и k такими, чтобы удовлетворялась система (13).Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно б1, б2,…, бn. Составим определитель системы (13):

Если k таково, что определитель? отличен от нуля, то система (13) имеет только нулевые решения б1=б2=…=бn=0, а следовательно, формулы (12) дают только тривиальные решения:

X1(t)=X2(t)=…=X (t)=0.

Таким образом, нетривиальные решения (12) мы получим только при таких k, при которых определитель (14) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-ого порядка для определения k:

(15).

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Обозначим через k1, k2,…kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня kj напишем систему (13) и определим коэффициенты:

б1(i), б2(i),…, бn (i).

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k1 решение системы (11):

Для корня k2 решение системы (1).

для корней kn решение системы (1).

Путем непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций:

(16).

где С1, С2,…, Сnпроизвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (11). Это есть общее решение системы (11). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

k1 = б+iв, k2 = б-iв.

Этим корням будут соответствовать решения:

• (j = 1, 2, …, n), (17)
• (j = 1, 2, …, n), (18)

Коэффициенты б j (1) и б j (2) определяются из системы уравнений (13).

Можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения:

(19).

где — действительные числа, определяемые через и. Соответствующие комбинации функций (18) войдут в общее решение системы.

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k (кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора P1 и P2 (т.е. кратность корня совпадает с числом линейно независимых собственных векторов). Векторы P1 и P2 порождают два линейно независимых решения:

И общее решение, так же как и в случае 1, находится по формуле (4).

Случай 4. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k (кратности 2), которому с точностью до постоянного множителя соответствует один собственный вектор P1 (т.е. кратность корня больше числа линейно независимых собственных векторов). В этом случае для отыскания решения целесообразно применить метод неопределенных коэффициентов. Согласно этому методу общее решение необходимо искать в форме:

Где постоянные Сij требуют определения путем подстановки этих выражений в исходную однородную систему.

Замечание. Для решения однородных систем в случае, когда корень характеристического уравнения л кратный и ему соответствует единственный собственный вектор P1, может быть применен метод присоединения векторов.

Суть его такова. Пусть P2 — вектор-столбец, являющийся решением уравнения:

(20).

тогда однородная система имеет два линейно независимых решения:

.

Покажем, что Y2 является решением. Имеем:

.

Учитывая, что P1 и — собственный вектор, а P2 удовлетворяет условию (20), получаем:

. (21).

Нетрудно также убедиться, что Y1 и Y2 линейно независимы. Следовательно, они образуют фундаментальный набор решений, и общее решение может быть найдено по формуле (4).

В общем случае корню характеристического уравнения л кратности k>1, имеющему один собственный вектор P1, соответствует k линейно независимых решений:

(22),.

где присоединенные векторы P2, P3,…, Pk являются последовательными решениями следующих алгебраических систем:

(23).