Исследование устойчивости. 
Численные методы решения уравнений математической физики и химии

Исследуем устойчивость явной разностной схемы (8.2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (8.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f" к, наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники:

Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на ynJai’iQk «.

he е, и выражаем л:

Рис. 8.1. Исследование устойчивости разностной схемы (8.2).

Напомним, что если собственные числа оператора перехода имеют комплексный вид, то согласно необходимому условию устойчивости разностных схем (3.8) требуется, чтобы они были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (рис. 5.1).

Введём следующие обозначения:

Данное выражение трудно анализировать, поскольку оно содержит две переменные величины — аир. Рассмотрим наиболее простой случай, когда, а = р:

Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 — г; 0) и радиусом:

Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (3.8), получаем три различных варианта (рис. 8.1). Видно, что окружность, соответствующая собственным числам оператора перехода, при г 1 — вне этого круга; а при г = 1 совпадает с его границей. Таким образом, явная разностная схема (8.2) будет устойчива при выполнении следующего условия:

Исследование устойчивости разностных схем (8.3)-(8.5) проводится по аналогичной методике и позволяет в итоге получить обобщённое условие устойчивости для всех четырёх явных разностных схем.

(8.2)-(8.5), аппроксимирующих дифференциальное уравнение (8.1):

Рис. 8.2. Разностный шаблон разностной схемы (8.2).

Метод решения

Разностный шаблон (рис. 8.2), характеризующий явную разностную схему (8.2), свидетельствует о том, что она содержит одну неизвестную величину — значение функции u (t, ху у) на (п + 1)-м шаге по времени. Выражая эту величину из разностной схемы, получаем рекуррентное соотношение.

позволяющее рассчитать все значения функции ы (?, х_г у) на (п + 1)-м шаге по времени (при известных значениях функции u (t, x_t у) на п-м шаге), кроме значений и J⁷^¹,, определяемых с помощью гранич ных условий:

На рис. 8.3 приведён алгоритм (в виде блок-схемы) решения явной разностной схемы (8.2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (8.1). Методика и алгоритм решения разностных схем.

(8.3)-(8.5) аналогичны.

Рис. 8.3. Блок-схема решения разностной схемы (8.2).