Эллиптические функции второго порядка

Сделаем предварительно два замечания:

а) Если эллиптическая функция f (z) с периодами 2а) и 2<�о' удовлетворяет соотношению.

где К—некоторое постоянное, то числа.

будут нули или полюсы функции f (z). В самом деле, полагая в соотношении (6) z == -j К, получим:

откуда следует, что ]уК есть нуль или полюс функции f (z). Полагая z=^K-|-<�о, найдём:

откуда вытекает, что ^а значит иiZC-j-to <�о'.

суть нули или полюсы функции f (z). Числа о>, w', и им кон груэнтные называются полупериодами.

Предполагая К= 0, т. е. что / {z) удовлетворяет соотношению f (z) =—/(— z), мы будем иметь нечётную эллиптическую функцию.

В силу доказанного для такой функции точки z=0, а следовательно, все периоды, равно, как все полупериоды, будут нулями или полюсами.

б) Если эллиптическая функция f (z) с периодами 2о> и 2(о' удовлетворяет соотношению

где К—некоторое постоянное, то числа.

будут нули или полюсы производной f'(z). Действительно, дифференцируя соотношение (7) мы видим, что производная f (z) удовлетворяет соотношению вида (6), откуда и следует наше утверждение, вследствие замечания а).

В частности, если ЛТ=0, т. е. если / (z) чётная функция [/ (z)= =/(— z)], то её производная будет нечётной и будет иметь нули или полюсы в точках, изображающих периоды и полупериоды. Приложим теперь эти замечания к эллиптическим функциям второго порядка.

Обозначим через р, и р₂ полюсы такой функции, расположенные в параллелограмме периодов. Пусть сначала р₄ ф р₂, т. е. оба полюса простые. В силу теоремы 5, если f (z) = f (z_l), то z—z_l^ = Pj-J-?2″ о^ткУД^а вытекает соотношение вида (7):

следовательно, по замечанию б) точки.

будут нулями или полюсами производной /' (z). С другой стороны, мы знаем полюсы производной f'(z) она имеет в точках pj и р₃ полюсы второго порядка. Так как, очевидно, точки р, и р₂ ^не будут конгруэнтными с точками (8), то производная f iz) должна обращаться в нуль во всех четырёх точках (8). Образуем теперь функцию.

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и /(г), восьмого порядка; эта функция имеет два полюса четвёртого порядка в точках р, и р₂ ^{и Н}У^ЛИ второго порядка в четырёх точках (8).

Последнее заключение сделано потому, что в точках (8) функция F (z) обращается в нуль вместе со своей производной. Заметив, что /'² (z) есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и F (z)_y того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы, на основании теоремы 2 (следствие 2), заключаем:

откуда Полагая

найдём:

где R (w) — полином 4-й степени относительно w. Таким образом, эллиптическая функция второго порядка w=f (z) может быть рассматриваема как обращение эллиптического интеграла первого рода (10).

Пусть теперь pj = P₂, т. е. эллиптическая функция второго порядка f{z)_} имеет в точке р, двойной полюс. В этом случае f (z) удовлетворяет соотношению.

точка Pj будет полюс третьего порядка дли /' (z), её нули расположены в точках

Образуем функцию.

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и f (z)_y шестого порядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точке jij и нули второго порядка в точках a_v а₂, д₃. Последнее заключение сделано потому, что в точках а, а₂, а₃ функция Ф (z) обращается в нуль вместе со своей производной.

Заметив, что /'² (z) есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и Ф(z) того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы, на основании теоремы 2 (следствие 2), заключаем:

откуда Полагая

найдём

гд? /?, (w) — полином третьей степени относительно w. Таким образом, эллиптическая функция второго порядка w = f (z) и в случае двойного полюса может быть рассматриваема как обращение эллиптического интеграла первого рода вида (12).