Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. 
Функция тока

В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, x и y, также функциями этих двух координат являются проекции v_x и v_y скорости течения.

Пусть определена функция, которая удовлетворяет следующим условиям.

.

Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.

Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:

или.

.

Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции, найдём.

.

При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции, напишем.

.

Отсюда следует, что, таким образом, функция тока на линии тока сохраняет постоянное значение.

Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т. е. что во всех точках потока имеет место условие.

.

В соответствии с принятыми предположениями в этом случае.

,.

где — потенциал скорости.

Из условия имеем.

.

Подставляя сюда выражение для функции тока, получим.

.

Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид.

или через потенциал скорости.

.

Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,₁, ,… или ₁, ₂,… такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации.

.

.

где A1, A2, …, B1, B2, … — постоянные.

Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.

Рис. 57.

Если построить два семейства кривых: эквипотенциальные линии (т.е. линии равного потенциала) и кривые — линии тока (здесь k и — параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональную сетку плоского течения (рис. 57).

Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v, совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол, тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен.

.

плоский поток жидкость кинематика Из уравнения же эквипотенциальной линии следует.

и отсюда тангенс угла ₂, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен.

.

Показать, что касательные векторы взаимно перпендикулярны, можно так.

.

В результате перемножения получаем.

.

Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий. Функция тока имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока ₁ и ₂ (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy будем предполагать равным единице.

.

где dS — элемент живого сечения струйки, v — скорость, n — единичный вектор по нормали к элементу dS, S₁ и S₂ — границы сечения.

Обозначим через угол, образуемый вектором с осью ox, тогда и будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,.

.

но, , поэтому.

.

Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.

Из сопоставления.

.

следует.

.

Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация функций и является функцией комплексного переменного z=x+iy, т. е.

.

Функция w называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную от комплексного потенциала.

.

причём.

.

где h1 и h2 — бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе.

.

Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует.

— это выражение называется комплексной скоростью.

Модуль комплексной скорости даёт величину скорости.

.

Рис. 58.

.

Введем кроме комплексной скорости (рис. 58).

.

сопряжённую скорость

.

Тогда.

.

.

Рассмотрим.

.

Тогда.

— циркуляция,.

— расход.