Квадратичный функционал и достаточные условия слабого минимума

Введение

В разд. 1 и 2 мы рассмотрели как постановку простейшей вариационной задачи, так и систему необходимых условий минимума.

функционала. Это были уравнения Эйлера—Лагранжа, которые позволяют найти кривые, подозрительные на экстремум, и условия Лежандра и Вейерштрасса, которые в свою очередь позволяют установить характер этого экстремума, а именно слабый он или сильный. В этом разделе мы перейдем к рассмотрению достаточных условий экстремума и начнем с того случая, когда они гарантируют выполнение слабого экстремума функционала.

Квадратичный функционал и вторая вариация

В разд. 1, рассматривая простейшую задачу для функционала.

нашли его вторую вариацию.

и доказали теорему 3 (Лежандра), утверждающую, что для того чтобы квадратичная функция.

была неотрицательна, необходимо, чтобы всюду на [х, х₂] выполнялось неравенство.

То есть мы нашли второе необходимое условие минимума функционала. Напомним, что первым таким условием было 6У = 0.

Лежандр пытался доказать, что если неравенство (4.3) строго выполняется на экстремали (т. е. равенство нулю не выполняется ни в одной точке), то этого достаточно для достижения слабого минимума. Приведем его рассуждения. Рассмотрим вторую вариацию (4.2), записав ее в виде.

где.

Поскольку в рассматриваемой простейшей задаче концевые условия заданы, то допустимые вариации в крайних точках тоже заданы:

6у (а) = 0; Ьу (Ь) = О, что позволяет построить для любой достаточно гладкой функции w (x) такое равенство:

Прибавим это выражение ко второй вариации (4.4):

Далее Лежандр пытался найти такую функцию tv (x), для которой подынтегральное выражение в квадратных скобках было бы полным квадратом, т. е.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Для этого w{x) должна удовлетворять уравнению поскольку в таком случае.

и квадратичный функционал.

неотрицателен при строгом выполнении условия (4.3), т. е. при Р = fy’y' > 0. Однако проблема в том, что этого условия недостаточно для доказательства положительности рассматриваемого квадратичного функционала. Необходимо также, чтобы уравнение (4.5) было разрешимо на всем промежутке, что в общем случае может и не иметь места.

Пример 4.1. В связи с изложенным можно привести такой пример. Пусть ЛВ и ВС — дуги экстремали, на которых выполняется условие Лежандра (4.3). Тогда оно выполняется и на составленной из этих дуг кривой АС. Но в обшем случае из того, что части АВ и ВС некоторой кривой дают экстремум функционала (4.1), не следует, что вся кривая АС будет также давать экстремум. Возьмем, например, дугу большого круга на сфере. Для любых двух точек на этой дуге расстояние между ними дается кривой, совпадающей с самой дугой большого круга, приусювии, что эта дуга составляет менее половины окружности. Но если длина дуги более половины длины окружности, то она нс будет кратчайшей. При этом для функционала, представляющего собой длину кривой на сфере в каждой точке дуги, выполнено условие /.. > 0, но оно не является достаточным для экстремума.

Несмотря на то что условие /. . >0 (Р > 0) не является достаточным для достижения слабого минимума, само исследование второй вариации и приведение ее к полному квадрату оказались очень плодотворными.