Элементы математической статистики

Типичные задачи статистических экспериментов

Несмотря на очевидное многообразие задач, с которыми приходится сталкиваться экспериментатору, большинство из них можно отнести к нескольким типичным:

— оценка определенных характеристик (параметров) изучаемого объекта, проявляющих себя статистически, а также проверка некоторых гипотез, касающихся упомянутых характеристик; эта задача имеет непосредственное отношение к измерительным процессам в промышленных условиях;

• — выявление воздействия, влияния на выходную величину (отклик) тех или иных входных величин (факторов); результатом такого эксперимента должно быть одно из утверждений «да» или «нет»; например, влияет ли добавка некоторого компонента на прочность бетона, влияет ли прием определенного лекарства на время выздоровления больных ит.п.; соответствующая экспериментальная процедура называется дисперсионным анализом;
• — установление функции отклика, т. е. статистически достоверной зависимости, связывающей отклик с факторами; другими словами — построение математической модели изучаемого объекта; это задача регрессионного анализа;
• — определение степени взаимной статистической связи двух величин, например энерговооруженности и производительности труда, затрат на техническую информацию и количества изобретений и т. п.; определение степени подобной связи является предметом корреляционного анализа;
• — нахождение оптимальных условий протекания процесса, т. е. определение значений факторов, при которых отклик является максимальным (или минимальным), например определение температуры, давления, времени протекания реакции, при которых концентрация кислоты на выходе химического реактора является максимальной; эта задача решается в ходе выполнения экстремального эксперимента.

Известен также ряд других типичных задач, но они встречаются реже и мы их не будем рассматривать в данной работе.

Генеральная совокупность и ее характеристики

Планирование эксперимента и обработка экспериментальных результатов опираются на методы, разработанные теорией вероятностей и математической статистикой. Поэтому уместно здесь напомнить основные положения этих дисциплин.

Основным объектом теории вероятностей является случайная величина — величина, которая в результате экспериментов принимает различные, заранее не известные значения. Случайная величина в целом задается генеральной совокупностью.

Генеральная совокупность — это полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина в ходе эксперимента. Генеральная совокупность может быть конечной и реально существующей (например, рост всех студентов Московского политехнического университета в некоторый момент времени) или бесконечной, гипотетической (например, совокупность всех исходов бросаний игральной кости при бесконечном числе бросаний).

Постулируется, что генеральная совокупность обладает некоторыми неслучайными свойствами, которые надо выявить в результате эксперимента. Исчерпывающей характеристикой случайной величины X (а следовательно, и генеральной совокупности) является ее функция распределения F (x), равная вероятности того, что в результате эксперимента эта случайная величина примет значение, меньшее чем х. Таким образом,.

Если функция распределения имеет производную, то функция.

называется плотностью распределения вероятности.

Как функция распределения F (x), так и плотность распределения Дх) характеризуют всю генеральную совокупность и являются детерминированными, неслучайными функциями, имеющими вполне конкретный аналитический (или графический) вид.