Уравнения Колмогорова. 
Надежность резервированных объектов

Для энергетических объектов практический интерес представляют главным образом такие марковские процессы, в которых пространство состояний изменяется по известному закону. При дискретном количестве состояний и непрерывном времени расчёт производится на основе переходных вероятностей.

Рассмотрим объект, который может находиться в одном из нескольких состояний i = 1,2,…, n, число которых n конечно. Состояния несовместны между собой и образуют полную группу событий. Это означает, что в любой момент времени сумма вероятностей всех состояний объекта равна единице:

.

Определение вероятностей p_i(t) — нахождения объекта в определённом состоянии является одной из важнейших задач теории надёжности.

Переход объекта из i-го состояния в j-е состояние характеризуется вероятностью перехода p_ij. При этом принимается за аксиому известное в теории вероятностей положение о том, что вероятность события в фиксированный момент времени всегда равна нулю. В данном случае это означает, что вероятность смены состояний в зафиксированный момент времени (скачкообразно) равна нулю. Или иначе принимают, что переход из состояния в состояние всегда занимает конечный интервал времени и вероятность этого перехода определяется выражением.

(1).

где — интенсивность перехода.

Величина интенсивности перехода может быть определена путём обработки большого количества наблюдений за состоянием объекта.

.

где — количество переходов из i-го состояния в j-е состояние;

K — общее количество переходов объекта. Чем больше K, тем точнее эта зависимость.

Вероятность того, что за время не произойдёт смены состояний, определяется выражением.

(2).

где k_i — количество возможных переходов из iго состояния ко всем остальным.

Рассмотрим два состояния объекта, показанных на рис. 1.

Стрелками на рис. 1 показаны направления возможных переходов объекта. Так, из состояния i объект может перейти с интенсивностью в состояние j, а в обратном направлении с интенсивностью. Для каждого i-го узла графа должно соблюдаться условие.

q_i(t) + p_i(t) = 1. (3).

Если интенсивность перехода _ij не зависит от интервала t и от того, где на оси времени t расположен этот элементарный участок, то такой случайный процесс называется однородным марковским процессом. В случае если интенсивность представляет собой функцию времени _ij = j (t), то процесс будет неоднородным.

Для определения вероятности каждого из возможных состояний объекта в текущий момент времени t рассмотрим в качестве примера граф состояний, показанный на рис. 2.

Найдём вероятность p₁(t) того, что в момент времени t +t объект находится в работоспособном состоянии 1. Как показано на рис. 2, в этом состоянии объект будет находиться через время t в следующих трёх случаях:

если в момент t он находится в работоспособном состоянии 1, и за период времени t не перешёл в состояние 2 — скрытого отказа;

если в момент t он находился в состоянии 3 — восстановления после отказа, и за период времени t перешёл в состояние 1;

если в момент t он находился в состоянии 4 — готовности к действию, и за промежуток t перешёл в состояние 1.

Каждый переход характеризуется соответствующими интенсивностями, показанными на рис. 2.

Вероятность нахождения в состоянии 1 по а) найдём в виде произведения вероятности р₁(t) на вероятность (1- ₁₂· t) того, что объект не перешёл за время t в состояние 2. Аналогично для переходов b) имеем вероятность р₃(t)· ₃₁· t и для c) соответственно р₄(t) ₄₁· t. Как уже отмечалось, произведение _ij· t имеет смысл вероятности перехода.

С использованием правила сложения вероятностей, получим.

p₁(t + t) = p₁(t)(1 — ₁₂· t) + p₃(t)· ₃₁· t + p₄(t) · ₄₁·t.

Выделив искомую вероятность p₁(t) в левую часть уравнения и разделив всё уравнение на t, получим.

.

В пределе.

. (4).

Полученное дифференциальное уравнение и аналогичные ему для других состояний объекта по имени автора называются уравнениями Колмогорова.

Общее число уравнений равно числу состояний на графе.

Таким образом, для всех четырёх состояний объекта можно получить систему дифференциальных уравнений следующего вида:

. (8.5).

При составлении дифференциальных уравнений для каждого из состояний пользуются следующим правилом. Производная вероятности нахождения объекта в каждом из состояний равна алгебраической сумме произведений вероятностей состояний на интенсивность переходов, при этом произведения берутся со знаком минус, если стрелка выходит из узла, для которого составляется уравнение, и со знаком плюс, если входит.