Закономерности излучения абсолютно черного тела

Схема эксперимента для изучения e⁽_v⁰⁾_T абсолютно черного тела представлена на рис. 8.4. Варьируя температуру тела, можно получить семейство зависимостей e_{v т} = /(v) при разных Т (экспериментально обычно находят _т = /(А, Т).

Рис. 8.4.

Было экспериментально установлено, что с ростом температуры увеличивается, а А_тах смещается в область более коротких длин волн (рис. 8.5).

Рис. 8.5.

Тепловое излучение тела имеет сплошной спектр.

Более строгое исследование теплового излучения абсолютно черного тела позволило установить рад законов.

Закон Стефана — Больцмана. В 1879 г. польский физик Стефан экспериментально установил, что г_т для любых тел примерно пропорциональна Г⁴ (где Т — абсолютная температура тела). В 1884 г. Больцман на основе термодинамических соображений показал, что установленная Стефаном зависимость справедлива для абсолютно черного тела:

здесь, а = 5,67 • 10^-8 Ватт/(м² • К⁴) — постоянная Стефана — Больцмана.

Соотношение (8.9) получило название закона Стефана — Больцмана

Закон смещения Вина. В 1893 г. Вильгельм Вин на основе термодинамических соображений установил следующую закономерность.

При повышении температуры максимум функции г^⁰⁾_т смещается в сторону более коротких волн, притом так, что выполняется соотношение.

где Ъ = 2,9 • 10^_3 м • К — постоянная Вина.

Формула Рэлея — Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа. Закон Стефана — Больцмана и закон смещения Вина — это все, что могла дать термодинамика в проблеме теплового излучения. Однако оставалась проблема — получение зависимости e_{v Т} =/(v, Т). В 1900—1905 гг. Рэлей и Джинс применили к равновесному тепловому излучению теорему классической статистики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы (т. е. на каждую степень свободы приходится кинетическая энергия кТ/2, на одно колебание приходится кТ).

Ход их рассуждений был следующий. В замкнутой полости, имитирующей абсолютно черное тело, в равновесном состоянии образуются стоячие электромагнитные волны (результат суперпозиции падающей и отраженной волн). Чтобы найти спектральную объемную плотность энергии излучения U_{v т}, необходимо рассчитать число стоячих волн g (v), приходящихся на единицу объема полости и единичный спектральный интервал:

где.

dN — число стоячих волн в объеме dV, принадлежащих спектральному интервалу (v, v + dv). Так как функция не зависит от формы и материала полости, возьмем полость в виде куба со стороной а (рис. 8.6). Условия существования стоячих волн в этом случае имеют вид:

здесь к_х, к_у, k_z — проекции волнового вектора к на пространственные оси, п_х, тг_у, п₂ — целые положительные числа (отрицательные значения этих чисел не дают новых независимых решений).

Рис. 8.6.

В пространстве волнового вектора (иначе, в фазовом пространстве), где по осям координат откладываются проекции волнового вектора к_х, к_у, k_z (рис. 8.7), каждой стоячей волне соответствует одна точка с координатами, удовлетворяющими условиям (8.13).

Рис. 8.7.

Совокупность всех этих точек образует в пространстве волнового вектора кубическую решетку с элементарной ячейкой объемом Д₀ = = п³/а³. Количество элементарных ячеек равно количеству точек (каждой ячейке принадлежит один «узел»). Число стоячих волн AN в интервале волнового вектора от 0 до к на рис. 8.7 изобразится набором точек, расположенных в положительном октанте шара радиусом, равным | к |, т. е. занимающих 1/8 часть объема (4/3) • п? к³. С учетом поляризации AN будет, соответственно, равно.

Умножение на 2 означает, что волна с любой поляризацией может быть представлена как совокупность двух взаимно перпендикулярных компонент с соответствующим сдвигом по фазе. Тогда.

Можно показать, что объемная плотность энергии излучения пропорциональна спектральной лучеиспускательной способности тела, находящегося в тепловом равновесии с данным излучением:

dz_T d?-r с.

Так как e_{v т} =——, _т = ——, а А, = —, то можно перейти от s_{v т} к г_{} т}:

dv ' d)i v.

или.

Формулы (8.15) и (8.16) носят название формул Рэлея — Джинса. Сравним выражение (8.16) с экспериментом (рис. 8.8).

Рис. 8.8.

Формула Рэлея — Джинса дает хорошее согласие с экспериментом в области больших длин волн. В области же коротких волн (ультрафиолетовая часть спектра) имеется существенное расхождение (см. рис. 8.8). Согласно формуле Рэлея — Джинса при X —> 0 _т—> оо. Отсюда.

т. е. абсолютно черное тело должно излучать бесконечно большую энергию. Этот результат классической теории излучения получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Он находится в противоречии с опытом.