Прямое произведение множеств

Можно ещё сказать: «Декартово произведение множеств» Возьмём два произвольных множества, А и В с небольшим числом элементов. Пусть, например, множество, А состоит из кружка и звёздочки, а множество В из треугольника четырёхугольника и чёрточки. А={_;*} В = {?; ?; - }.

Превратим элементы этих множеств в упорядоченные пары таким образом, чтобы первый член пары был из первого множества, а второй из второго.

Если на первое место поставить кружок, то можно сделать три пары, а именно: {_; ?}; {_;? }; {_; - }.

И если на первое место поставить звёздочку, то тоже можно получить три пары: {*; ?}; {*;? }; {*; - }.

Построим теперь новое множество, элементами которого будут эти упорядоченные пары:

{(_;?); (_; ?); (_; -); (*; ?); (*; ?);(*; -)}= А х В Полученное таким образом множество называется прямым произведением множеств, А и В и обозначается, А х В. Приведем ещё пример М х N если:

М = {(карандаш, перо)}, N = {(мел, губка)}.

М х N = {(карандаш, мел), (карандаш, губка), (перо, мел), (перо, губка)}; N х М = {(мел, карандаш), (мел, перо), (губка, карандаш), (губка, перо)}.

Прямое произведение множеств можно изобразить графически. Особенно важным и интересным является произведение N х М, в котором N обозначает множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Оно содержит бесконечно много упорядоченных пар, поэтому его можно изобразить при помощи сетки целочисленных координат. Каждой упорядоченной паре (а, b) N х М ставится в соответствие совершенно определённое натуральное число С, которое называется произведением. Например: 8×7 = (8,7) множества {N х N}. Это натуральное число 56.

Определение произведения: " Прямое произведение множеств, А и В есть множество всех упорядоченных пар (a, b), в котором, а является элементом множества, А и b элементом множества В" .

Запишем на языке математики:

АВ={а, bа, А иbВ}.

Прямое произведение множеств, А и В, есть множество всех упорядоченных пар а и b, обладающих свойством, согласно которому а — элемент множества, А и b — элемент множества В.