Понятие абстрактной группы

Понятие алгебраической операции Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением.

Примеры.

Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией.

Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n.

Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при. Однако на множествах, это будет алгебраическая операция.

Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .

Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве .

Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.

Свойства алгебраических операций.

Операция (*) называется ассоциативной, если .

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания (и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если,. В частности можно определить степени с натуральным показателем:. При этом имеют место обычные законы:, .

2. Операция (*) называется коммутативной, если.

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции.

Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если. В примерах 1−6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует!), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если — нейтральные элементы, то. Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: .

Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента, если. Отметим, что по определению. Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы — это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем:. Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим и. (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G,*) называется группой, если Операция (*) ассоциативна на G.

Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).

Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

Любая группа преобразований.

(Z, +), (R, +), (C, +).

Матричные группы: — невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.

Простейшие свойства групп.

В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности: .

Признак нейтрального элемента:

Доказательство Применим к равенству закон сокращения.

Признак обратного элемента:

Доказательство: Применим закон сокращения к равенству .

Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п. 3.

Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что (левое частное элементов) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству. Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.

Изоморфизм групп Определение.

Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом, если.

1. Отображение взаимно однозначно. 2. Отображение сохраняет операцию: .

Поскольку отображение обратное к также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K, которые называются изоморфными.

Примеры.

1. Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2. Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны.

Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества {1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки — четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34) переставляет символы 1 и 2, а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.

Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом. Это означает, что является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

Понятие подгруппы Непустое подмножество называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что, и .

Признак подгруппы.

Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь — любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим. Теперь возьмем. Тогда получим .

Примеры подгрупп.

Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

— подгруппа четных подстановок.

и т.д.

Пусть G — любая группа и — любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку, рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g.

Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество — централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если, то, то есть. Теперь ясно, что если, то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то. Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z (G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+ … +g, называются кратными элемента g и обозначаются ng.

Реализация абстрактной группы как группы преобразований Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть некоторая подгруппа.

А) Для каждого определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема 1.

Множество L (H, G)= является группой преобразований множества G.

Соответствие: является изоморфизмом групп H и L (H, G).

Доказательство.

Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого. Если, то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно.

Обозначим через операцию композиции в группе Sym (G) взаимно однозначных отображений. Надо проверить, что и. Пусть любой элемент. Имеем:; и значит, .

Пусть. Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения:. Сохранение операции фактически уже было установлено выше: .

Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n.

Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема B.

.

Множество является группой преобразований множества G.

Соответствие является изоморфизмом групп H и R (H, G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не, а .

С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h) формулой .

Теорема С.

Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).

Множество является группой преобразований множества G.

Отображение сюръективно и сохраняет операцию.

Доказательство.

Поскольку, отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: и потому сохраняет операцию.

Надо проверить, что и. Оба равенства проверяются без труда.

Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения .

В общем случае отображение не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение является изоморфизмом.

Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L (H, G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам. Заметим, что стабилизатор St (g, L (H, G)) (как и St (g, R (H, G))) тривиален поскольку состоит из таких элементов, что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .

Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов. Это число равно, где Z (H, g) подгруппа H, состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть — группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть. Легко проверить, что левые смежные классы суть:

, .

Правые смежные классы:

, .

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

, , .

В то же время,.

, .

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов,, откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы .

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа — общий делитель порядков H и K то есть 1.

Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа илюбой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

В любой группе G нормальными будут, во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .

Если — любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z (H, G) — нормальная подгруппа в G, так как для всех ее элементов z. В частности, центр Z (G) любой группы G — нормальная подгруппа.

Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса: H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда.

= = = .

алгебраический изоморфизм циклический.

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс. Поскольку, всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

Гомоморфизм.

Гомоморфизм групп — это естественное обобщение понятия изоморфизма.

Определение.

Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть: .

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

Примеры.

Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

Тривиальное отображение является гомоморфизмом.

Если — любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.

Пусть — нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку. Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

Отображение, которое каждому перемещению n — мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию № 3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

Теорема (свойства гомоморфизма) Пусть — гомоморфизм групп, и — подгруппы. Тогда:

.

— подгруппа.

— подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

Доказательство.

и по признаку нейтрального элемента. Теперь имеем: .

Пусть p = (h), q = (k). Тогда и. По признаку подгруппы получаем 2.

Пусть то есть элементы p = (h), q = (k) входят в. Тогда то есть. Пусть теперь подгруппа нормальна и — любой элемент. и потому .

Определение.

Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма. Образ этого гомоморфизма обозначается .

Теорема.

Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда.

Доказательство.

Поскольку, указанное условие необходимо. С другой стороны, если, то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма, изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм. Пусть. Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg. Все элементы имеют одинаковые образы при отображении:. Поэтому формула определяет однозначное отображение. Проверим сохранение операции. Поскольку отображение очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если, то и потому. Следовательно, и по предыдущей теореме инъективно.

Пусть — любой элемент. Имеем:. Следовательно, .

Циклические группы.

Пусть G произвольная группа и — любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g, то она содержит и все степени. С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G.

Определение.

Подгруппа Z (g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z (g), то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

Группа поворотов плоскости на углы кратные n является циклической с образующим элементом — поворотом на угол n. Здесь n = 1, 2,…

Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ.

Доказательство.

Пусть G = Z (g) — циклическая группа. По определению, отображение — сюръективно. По свойству степеней и потому — гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме. H = KerZ. Если H — тривиальная подгруппа, то. Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n — наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r, где 0 < r < n. Тогда r = k — qn H, что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что Z / nZ.

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ, где n = 0,1, 2,…

Определение.

Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z (g).

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени — различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z (g), а N кратно n. Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство .

Следствие.

Если G — группа простого порядка p, то — циклическая группа.

В самом деле, пусть — любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z (g).

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G — циклическая группа порядка n и m — некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HG порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме GZ / nZ. Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HG и теми подгруппами KZ, которые содержат Ker = nZ. Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZnZ, то k — делитель n и (k) — образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G — циклическая группа.

Доказательство.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Лемма.

Если G обладает свойством (Z), то Любая подгруппа G нормальна.

Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.

Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

Доказательство леммы.

1. Пусть HG. Для любого подгруппа имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна.

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z (x) и Z (y) нормальны. Значит, Z (x) y = yZ (x) и xZ (y) = Z (y) x и потому для некоторых и. Следовательно,. Но, поскольку порядки подгрупп Z (x) и Z (y) взаимно просты, то. Следовательно, и потому xy = yx.

Используя свойство (Z), выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hH, kK попарно различны, так как =e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение является гомоморфизмом с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, и потому — подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.

Доказательство теоремы.

Пусть — разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть. Выберем в G элемент x максимального порядка. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен, где u s. Группы и имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому и мы доказали, что x — образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например,). Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции, мы можем считать, что H = Z (x), K = Z (y), причем xy = yx. Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.