Некоторые аналитические решения
Рассмотрим тонкое кольцо, закрепленное по внутреннему контуру (г = а), а по внешнему (г = b) нагруженное равномерными касательными усилиями интенсивности q (рис. 4.1). В силу того что перемещения v не зависят от 0, решение ищется в виде v = ф0. Остальные функции V)/, а также все функции <�р, равны нулю. Согласно формуле (4.8) ф0 удовлетворяет уравнению. Достаточно наглядным примером статически… Читать ещё >
Некоторые аналитические решения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Чистое кручение тонкого кольца
Рис. 4.1. Расчетная схема для чистого кручения тонкого кольца
Рассмотрим тонкое кольцо, закрепленное по внутреннему контуру (г = а), а по внешнему (г = b) нагруженное равномерными касательными усилиями интенсивности q (рис. 4.1). В силу того что перемещения v не зависят от 0, решение ищется в виде v = ф0. Остальные функции V)/, а также все функции <�р, равны нулю. Согласно формуле (4.8) ф0 удовлетворяет уравнению.
а также граничным условиям.
Легко показать, что в случае р = р0 = const решением.
. С, уравнения (4.26) будет ф0 = С/ н—, что соответствует чле нам в формуле (4.5), содержащим константы с и a[Y Удовлетворяя условиям (4.27), в случае однородного материала получим.
Переходя к решению для неоднородного материала, рассмотрим одну из простейших зависимостей р = р0(г/а)‘ Тогда уравнение (4.26) становится уравнением Эйлера, решение которого имеет вид |/0 = Ctr + C2r81.
Определив константы из условий (4.27), для v и т,е находим.
Рис. 4.2. К условию равновесия.
2>(а) = О В выражениях (4.28) и (4.29) верхние индексы в скобках относятся соответственно к однородному и неоднородному материалу. Сопоставляя два решения, можно заметить, что напряжения в кольце не зависят от неоднородности, что можно объяснить следующим образом. Рассматриваемая задача является статически определимой. Если рассмотреть кольцо, внутренний радиус которого г0 > а (рис. 4.2), то напряжения на внутреннем контуре этого кольца можно вычислить из условия равенства нулю крутящего момента относительно оси х.
Достаточно наглядным примером статически определимой задачи является растяжение стержня сосредоточенной силой. В этом примере напряжения во всех поперечных сечениях будут одинаковы независимо от того, как изменяются, но длине стержня его деформационные характеристики.
Возвращаясь к примеру, рассматриваемому в данном подпараграфе, отметим, что перемещения в однородном и неоднородном кольце различны. Отношение перемещений точек внешнего контура в неоднородном и однородном кольцах равно.
где к = b/а. Анализ показывает, что при 5 > 0, что соответствует ужесточению материала с увеличением радиуса, это отношение всегда меньше единицы.