Задачи для самостоятельной работы

2.1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми?

2.2. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий будет два бракованных.

2.3. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретая 8 облигаций, выиграет больше чем по половине из них?

2.4. Определить вероятность того, что помер первой встретившейся машины содержит: а) ровно две пятерки; б) не менее трех пятерок. Считать номера машин ч еты рехз начными.

2.5. За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01.

2.6. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Посеяно 20 семян. Найти наивероятнейшее число всходов и соответствующую вероятность.

2.7. Вероятность признания изделия стандартным при каждом испытании равна 0,8. Сколько нужно проверить изделий, чтобы наивсроятнейшее число стандартных изделий было равно 20?

2.8. Событие В наступает в том случае, если событие Л появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и проведено 5 независимых опытов.

2.9. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появления другого события В зависит от числа появлений события А: при однократном появлении А эта вероятность равна 0,1; при двукратном — 0,3; при трехкратном — 0,7. Если событие А не имело место ни разу, то событие В невозможно. Определить наиболее вероятное число появлений события А, если событие В имело место.

2.10 (задача Банаха). Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность, что во второй коробке при этом k спичек, если вначале в каждой коробке было по п спичек?

2.11. В магазине для студенческого общежития приобретено пять телевизоров. Определить вероятность того, что четыре телевизора в течение гарантийного срока не выйдут из строя, если известно, что вероятность выхода из строя для каждого телевизора в течение гарантийного срока равна 0,05.

2.12. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одном подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появится три «герба».

2.13. Сколько изюма должны содержать в среднем сдобные булочки, для того чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не менее 0,99.

2.14. Найти вероятность того, что событие А появится нс менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если в каждом из них вероятность появления события А равна 0,4.

2.15. Девять человек рассаживаются наудачу в три вагона. Найти вероятность того, что: а) в каждый вагон сядет по три человека; б) в первый вагон сядет 4 человека, во второй — 3, в третий — 2 человека.

2.16. В небольшом городке каждый взрослый житель имеет одну из трех групп профессий (будем предполагать, что в каждой группе объединены родственные или близкие профессии). Пусть в городе дети отцов, имеющих профессии П_{, П₂, П₃, сохраняют их с вероятностями 0,8, 0,7, 0,6 соответственно, а если не сохраняют, то одинаково часто выбирают любую из двух других профессий. Предполагая, что поведение жителей описывается однородной цепью Маркова, найти распределение внуков между профессиональными группами.

2.17. В городе N5% жителей ежегодно переселяется в пригороды, а 10% жителей пригорода переселяется в город. Предположим, что общее число жителей города и его пригородов на какой-то период стабилизировалось и процесс миграции можно рассматривать как однородную цепь Маркова. Спрогнозировать изменение населения города и его пригородов через пять лет.