Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки a* математического ожидания, а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя, которая принята в качестве искомой оценки:. Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы (допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью):

.

Интересующая нас верхняя грань ошибки (есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение (известно. В этом случае с надёжностью (верхняя граница ошибки).

.

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t — значение аргумента функции Лапласа, при котором.

(- известное среднее квадратичное отклонение Х).

Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение (неизвестно).

В этом случае с надёжностью (верхняя граница ошибки).

где n — число испытаний; s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3.

Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной (, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение (случайной величины Х известно; если же (неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.