Элементы теории множеств

Под множеством понимают некоторую совокупность элементов, объединенных по определенным признакам.

Множества состоят из элементов. Принадлежность элемента х множеству, А записывается следующим образом: х g А. Если элемент х не принадлежит множеству А, то это записывается так: х Ј А.

Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А. То, что В является подмножеством множества А, записывается так: В сА (рис. 1.1).

Множество А.

Подмножество В сА Рис. 1.1 Множество, А и подмножество В

Введем понятие пустого множества, т. е. множества, в котором не содержится ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом 0. Пустое множество содержится в любом множестве, т. е. 0 с А.

Объединением (суммой) множеств А_к (k = l, 2,…, n) называется множество S, которое состоит из всех элементов множеств А_к, т. е. если х g S, то х g А_к хотя бы при одном к.

Объединение множеств А_к (к = 1,2,…, n) обозначается символом.

S = и Ak. (1.1).

k=1.

Пересечением (произведением) множеств А_к (к =1,2,…, n) называется множество Р, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно всем множествам А_к, т. е. если х е Р, то х е А_к при всех к=1,2,…, п.

Пересечение множеств А_к (к = 1,2,…, n) обозначается символом.

P = П Ak. (1.2).

k=1.

ПРИМЕР 1.

Все студенты университета образуют множество А. Студенты старших курсов образуют подмножество В с А. Студенты экономического факультета образуют подмножество С с А.

Тогда подмножество S = ВИС объединяет студентов старших курсов и студентовэкономистов. Подмножество Р = В П С объединяет студентовэкономистов старших курсов.

ПРИМЕР 2.

Все машины на стоянке около завода ЗИЛ образуют множество М. Легковые машины образуют подмножество М_л с М. Машины отечественного производства образуют подмножество МотС М. Тогда подмножество S = МлЫМ_от включает легковые и отечественные машины. Подмножество Р = М_л П М_от включает все легковые отечественные машины.