Числовые ряды. 
Числовые ряды

Числовые ряды

В теории числовых рядов одной из ключевых задач является исследование ряда на сходимость. В педагогических ВУЗах изучают только некоторые признаки сходимости: признак Коши, Даламбера и др., а они не всегда дают нам ответ вопрос: сходится ряд или расходится. Поэтому рассмотрим дальнейшие признаки сходимости знакоположительных рядов. Но для начала остановимся на основных моментах понятия ряда.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел:

.

который называют суммой ряда. частичная сумма ряда.

Если предел последовательности частичных сумм ряда не существует, то ряд называется расходящимся, соответственно расходящийся ряд суммы не имеет.

Первый признак, который мы рассмотрим — признак Куммера. Данный признак можно рассматривать как общую схему, для того чтобы получить другие признаки, которые являются частными случаями признака Куммера.

Пусть ряд с положительными членами, такими, что данный ряд расходится. Тогда ряд сходится, если при всех (n больших некоторого N большого) выполняется неравенство:

где. Если же, то ряд расходится. В предельной форме:

при ряд сходится, а при расходится.

Следующий признак очень похож на признак Даламбера, но первый существенно чувствительней, чем второй. Это признак Раабе.

Ряд сходится, если при достаточно больших выполняется неравенство:

.

где. Если, то ряд расходится. В предельной форме записывают иначе. Если существует предел.

.

то при ряд сходится, а при расходится. Если же, то признак Раабе не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример. Исследовать на сходимость ряд.

Ответ: ряд сходится.

Пример можно решить с использованием специальных методов оценивания, но проще это сделать, применив признак Раабе, поскольку пример не решается по признаку Даламбера.

Далее рассмотрим признак Бертрана, который значительно чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов. Если.

где, то ряд сходится, а если, то расходится. При признак не дает ответа на вопрос.

И последний признак — признак Гаусса. Его можно получить из признаков Раабе и Бертрана, но он является более практичным.

Пусть для ряда отношение соседних членов может быть представлено в виде:

.

где и — постоянные, а — ограниченная величина.

Тогда ряд сходится, если и >1, и расходится в том случае, если 1, 1.

Это можно увидеть в следующей таблице:

В рамках доклада мы рассмотрели дальнейшие признаки сходимости знакоположительных рядов. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

• 1. Признаки, которые обычно изучаются в курсе математического анализа, не всегда дают ответ, поэтому при решении практических задач приходится применять более сложные.
• 2. Рассмотренные признаки взаимосвязаны. Можно увидеть, что признак Куммера рассматривается как общая схема для остальных признаков. А признак Гаусса выводится из признаков Раабе и Бертарна. Он более чувствителен, чем Раабе и более практичен, чем признак Бертарна. Таким образом, мы видим целую цепь все усиливающихся и при этом усложняющихся признаков сходимости.
• 3. Дальнейшие признаки сходимости рядов основаны на теоремах сравнения и являются достаточными, т. е. при выполнении условий признака для данного ряда можно сделать определенные утверждения о его поведении, но если условия признака для него не выполнены, то ничего о сходимости ряда утверждать нельзя, он может как сходиться, так и расходиться.