Сферическое движение тела

Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, называют сферическим, потому что любая точка М такого тела движется по поверхности сферы с центром в этой неподвижной точке.

Рис. 6.12.

Л. Эйлер предложил описывать положение тела с неподвижной точкой тремя углами у/, в (р, которые задают ориентацию подвижных декартовых осей O^rj^, жестко связанных с телом, относительно неподвижных декартовых осей Oxyz.

Расположение и положительные направления отсчета углов у/, в, (р, называемых углами Эйлера, показаны на рис. 6.12. Прямая ON — это линия пересечения неподвижной координатной плоскости Оху с подвижной 0%7j .

Любое положение тела с неподвижной точкой можно описать значениями трех углов Эйлера, причем каждой тройке чисел у/, в (р соответствует лишь одно положение тела. Поэтому функциональные зависимости величин углов Эйлера от времени:

можно использовать в качестве уравнений сферического движения тела.

Кинематические характеристики сферического движении

Рис. 6.13

Теорема 3 (о конечном повороте) (Даламбер-Эйлер). Пусть П и П₂ — два произвольных положения тела, имеющего одну неподвижную точку О. Существует проходящая через эту точку ось Os, такая, что перемещение тела из П в П₂ можно выполнить поворотом вокруг этой оси Os на конечный угол А(р (рис. 6.13).

Предложенное Л. Эйлером геометрическое доказательство этой почти очевидной теоремы можно найти в [1].

Теорему о конечном повороте используют для формулировки строгого определения угловой скорости тела с одной неподвижной точкой.

Пусть тело совершает сферическое движение так, что его точка О неподвижна (рис. 6.13); Я, и П₂ — два положения тела в моменты времени t и t + At соответственно. Согласно теореме о конечном повороте, для этих двух положений можно найти ось поворота Os и угол поворота А (р (А (р всегда положительный).

Среднюю угловую скорость тела за промежуток времени [/, / + At ] можно определить как отношение.

Выполнив в (6.16) предельный переход при At —> 0, получим величину со, которую естественно принять за мгновенную угловую скорость тела в момент времени t:

Предельное положение Ofl оси конечного поворота Os при At —> О называют осью мгновенного вращения тела.

Вектор со угловой скорости тела будем считать направленным вдоль оси мгновенного вращения ОП по правилу буравчика, а его модуль равным пределу (6.17).

Представление об оси мгновенного вращения позволяет построить распределение скоростей точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. Эти скорости в каждый момент времени будут такими же, как при вращении тела с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси совпадающей с ОП — осью мгновенного вращения тела (рис. 6.14).

На основании этой аналогии скорость любой точки М тела можно выразить с помощью формулы Эйлера-Пуансо (6.3):

где г = ОМ — радиус-вектор точки М относительно неподвижной точки О тела (рис. 6.14).

Чтобы найти ускорение точки М тела, продифференцируем обе части равенства (6.18) по времени:

Здесь производную со естественно интерпретировать как вектор е углового ускорения тела, а для г использовать представление.

В результате для ускорения любой точки М тела получаем: