Одноточечный итерационный процесс с памятью
Для выбора начальных значений xq и Х можно использовать такое же условие, как для метода Ньютона, только применяя его к Xq и х. Условие (2.27) для данной функции выполняется, например, при xq = -0.01 и х = 0. Результаты расчетов для гр = 10 5 приведены в табл. 2.7. Для того чтобы начать итерационный процесс, нам необходимо задать два начальных приближения х0 и Х. Подставляя это выражение в… Читать ещё >
Одноточечный итерационный процесс с памятью (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Методы, которые мы рассмотрели, имееют высокую скорость сходимости, но их применение требует вычисления производных исходной функции, что может быть не всегда оправдано. Часто требуется значительно больше вычислительных затрат для того, чтобы вычислить fx) и /" (*г), чем f (x). В дополнение во многих приложениях встречаются функции, которые не имеют явных выражений для производных. Например, функция.
демонстрирует одну из возможных ситуаций. В этом параграфе мы рассмотрим некоторую модификацию одноточечной итерации, которая исключает вычисление производных функции. Первую производную функции /(.г) в точке можно приближенно вычислить следующим образом:
Подставляя это выражение в (2.19), мы получим.
Эта итерационная схема называется методом секущих. Сходимость этого метода может быть описана выражением (2.8) с некоторой константой Сир- 1.62, что показывает несколько более медленную сходимость по сравнению с методом Ньютона (р = 2). Однако метод секущих требует только одного вычисления /(.г*) на итерацию (мы можем использовать значение/(х*_ j) из предыдущей итерации). Если вычисление f'(x) требует значительных вычислительных затрат, тогда использование метода Ньютона приводит к большому количеству вычислений на итерацию. В этом случае метод секущих может быть более эффективен: возможно, он потребует большего количества итераций, но количество вычислений на каждой итерации может быть значительно меньше. Метод секущих имеет свои особенности:
- 1) для того чтобы начать итерационный процесс, нам необходимо задать два начальных приближения х0 и Х
- 2) числитель и знаменатель второго слагаемого в итерационной формуле (2.26) стремятся к нулю, когда приближается кх*. В этом случае ошибки округления могут значительно влиять на результат вычислений. Для того чтобы уменьшить это влияние, необходимо производить вычисления с двойной точностью.
Для выбора начальных значений xq и Х можно использовать такое же условие, как для метода Ньютона, только применяя его к Xq и х.
Пример 2.7 (метод секущих).
Условие (2.27) для данной функции выполняется, например, при xq = -0.01 и х = 0. Результаты расчетов для гр = 10 5 приведены в табл. 2.7.
Таблица 2.7
k | Xk | Xk~Xk- | l/te)l. |
0.49 875. | 4.98 753е-01. | 1.28 956е-01. | |
0.57 259. | 7.38 395е-02. | 2.22 481е-02. | |
0.58 798. | 1.53 952е-02. | 7.55 890е-04. | |
0.58 853. | 5.41 454е-04. | 4.79 203е-06. |
Можно также получить формулу для приближенного вычисления f"(x). Тогда, если подставить формулы для приближенного вычисления f'(x) и/"(х) в (2.22), (2.23) и (2.24), мы получим некоторые одноточечные итерационные процессы с памятью и п из (2.6) равняется двум. Эта процедура приводит к очень громоздким выражениям, в то же время скорость сходимости этих методов лишь немного выше, чем в методе секущих (но ниже, чем в методе Ньютона).