Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи

Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима и не содержащий источников энергии (рис. 2.7, а). Ток i и напряжение и на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

По определению, комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) Z пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения па зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения U_m = V2 0, I_m = V2 /, устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное.

Рис. 2.7. Идеализированный пассивный двухполюсник (а) и его комплексные схемы замещения (б, в) число, поэтому оно может быть представлено в показательной.

и алгебраической формах.

Величины z = |Z| и (р называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины г их — его вещественной {резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи z называют также полным входным сопротивлением). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, из выражений (2.42) и (2.43) находим

Сравнивая выражения (2.44) и (2.46), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления 2 равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:

В зависимости от фазовых соотношений между напряжением и током значение (р может быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (напряжение отстает по фазе от тока) или равно нулю (ток и напряжение совпадают по фазе).

Комплексное входное сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплексной плоскости, длина которого в определенном масштабе равна 2, а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен (р (рис. 2.8, а). Вещественная г и мнимая х составляющие входного сопротивления Z представляют собой проекции вектора Z на вещественную и мнимую оси:

Рис. 2.8. Изображение Z и У на комплексной плоскости.

Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью {комплексной проводимостью) участка цени:

Комплексная входная проводимость может быть определена как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого участка цепи:

Представляя комплексную проводимость У в показательной форме.

находим, что модуль комплексной входной проводимости у = |У|, называемый полной входной проводимостью цепи, является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления:

а аргумент входной проводимости 9 равен по абсолютному значению и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления.

Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представлена в алгебраической форме: Y = g +jb. Здесь g и b — вещественная {резистивная) и мнимая реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора Y на вещественную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 2.8, 6)

Подставляя в выражение (2.49) Z = r +jx и Y = g + jb, определим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости участка цепи:

Из выражений (2.52) и (2.53) следует, что резистивные составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости имеют одинаковые знаки:

а реактивные составляющие — противоположные:

Отметим также, что каждая из составляющих комплексного сопротивления (г и х) зависит как от резистивной g, так и реактивной b составляющей комплексной проводимости, а каждая из составляющих комплексной проводимости (g и Ь), в свою очередь, зависит от г и х.