Квантование сигналов. 
Общая теория связи

При построении систем связи требуется преобразовать сигналы из аналоговой формы в цифровую и из цифровой в аналоговую. Такие операции с сигналами осуществляют АЦП и ЦАП, характеризующиеся погрешностью, быстродействием и динамическим диапазоном. Основные погрешности систем цифровой обработки сигналов связаны с квантованием сигнала в АЦП на конечное число уровней, определяемое разрядностью кода.

Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений, и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. В процессе преобразования отсчетов сигнала возникают ошибки округления, которые называют ошибками (или шумами) квантования.

Увеличение числа разрядов повышает точность приема и позволяет расширить динамический диапазон передаваемых сигналов. Потерянная из-за недостатка разрядов АЦП информация невосстановима, и не существует простых критериев, показывающих, когда подобное восстановление могло бы иметь место. Существуют лишь оценки погрешности, однако не всегда они удовлетворительны. Для того чтобы оценить влияние помехи, используется отношение сигнал/шум.

Процесс равномерного квантования аналоговых сигналов иллюстрируется на рис. 6.33. Если на вход схемы квантователя АЦП подано постоянное линейно нарастающее напряжение u_x(t) = щ (штриховая линия), то выходное напряжение u₂(t) = щ будет представлять собой линию ступенчатой формы (рис. 6.33, а). Эта линия носит название характеристики квантования.

Рис. 6.33. Квантование гармонического сигнала:

а — характеристика квантования и сигнал на входе; 6 — сигнал на выходе;

в — шум квантования Разность двух напряжений q (t) = q = u₂(t) — u_x(t) представляет собой шум (погрешность) квантования. Для рассматриваемого случая максимальное значение погрешности квантования не зависит от уровня напряжения u_{(t) и всегда равно половине шага квантования Д/2. Положим, что на вход схемы АЦП поступает полупериод гармонического колебания u_BX(t) (см. рис. 6.33, а). Выходной сигнал u_Bhlx(t) = и_пых приобретает ступенчатую форму (ступенчатая линия на рис. 6.33, б), отличающуюся от входной синусоиды u_BX{t). Функция погрешности квантования (рис. 6.33, в) аналитически запишется в виде

Отметим, что возникающая при этом погрешность представления q (t) является неустранимой, но контролируемой, так как не превышает половины шага квантования (см. рис. 6.33, в). Выбрав малый шаг квантования, можно обеспечить требуемую ошибку квантования.

Один ив основных путей снижения шумов квантования — использование многоразрядных кодов. Наиболее часто используются 8-, 10-, 12-, 16-, 20- и 24-разрядные АЦП. Каждый дополнительный разряд улучшает отношение сигнал/шум на 6 дБ. Однако это автоматически приводит к уменьшению быстродействия цифровых фильтров вследствие увеличения времени обработки сигналов.

При проектировании различных цифровых устройств специалисты стремятся снизить шум квантования до уровня, обеспечивающего необходимую точность восстановления непрерывного сигнала. Отсюда исходит и требование к необходимому количеству разрядов в цифровых кодах. Если уровни квантования (их число равно N) пронумеровать двоичными числами, то согласно формуле (6.1) количество разрядов кодов.

При этом относительная погрешность квантования.

Из формулы (6.62) очевидно, что чем больше величина N, тем меньше сигнал м_вых(0 отличается от сигнала u_ttX(t). С увеличением N возрастает число разрядов п представления двоичных чисел, что ведет к усложнению аппаратуры для обработки таких сигналов. Среднюю мощность (дисперсию) шума квантования легко вычислить из геометрических построений, приведенных на рис. 6.33, в:

Из этой формулы следует, что шумы квантования снижаются с увеличением разрядности цифрового кода, т. е. с уменьшением шага квантования А.

Пример 6.23.

Определим число разрядов двоичного кода для измерения изменяющегося от [/_min = 6 В до ?/_тах = 100 В напряжения U с относительной погрешностью 6, не превышающей 0,5 В.

Решение

Шаг квантования AU = 25 = 2*0,5 = 1 В. Число уровней квантования N = = f/_max/5 = 100. По формуле (6.62) находим разрядность двоичного кода: п > log₂JV = 7.