Методологические основы исследования и измерения статистического риска

Составной частью любого экономического анализа является выявление рисковых ситуаций и количественная (или качественная) оценка рисков. Под риском обычно понимают возможность наступления одного или нескольких случайных событий, являющихся причиной отклонения фактического результата (величины наблюдаемого показателя) от ожидаемого значения [1].

Многие риски связаны с наблюдением некоторого показателя, поведение которого в течение определённого промежутка времени или для некоторой совокупности объектов известно. Такие риски будем называть статистическими [2]. Другими словами, под статистическими рисками будем понимать риски, связанные с изменением получаемого результата или величины наблюдаемого показателя, о поведении которого имеются статистические данные за прошедший промежуток времени.

К статистическим рискам относится большинство финансовых, страховых, сельскохозяйственных и других рисков.

Разновидностью статистических рисков являются стохастические риски, вероятность появления которых может быть определена математически или экспертным путем. Стохастические риски обусловлены стохастической (вероятностной) неопределённостью. Они проявляют себя при массовых событиях в природе и обществе.

Статистический «механизм» риска весьма востребован в различных жизненных ситуациях: в предпринимательстве, в финансовой сфере, в страховании и т. д.

Для количественной оценки (измерения) статистического риска (далее риска) в настоящее время используются метод экспертных оценок и статистический метод [3].

Суть экспертного метода заключается в получении количественных оценок риска на основе обработки мнений экспертов — специалистов в исследуемой области. Метод обычно применяется при решении сложных неформализуемых задач, когда отсутствует полная и достоверная информация и использование математических методов невозможно. Экспертный метод в принципе не дает гарантий достоверности полученных результатов.

Сущность статистического метода измерения риска состоит в обработке значительного массива данных, относящихся к изучаемому рисковому событию. В данном случае величина риска характеризуется некоторым статистическим показателем: вероятностью, дисперсией и др. Статистический метод обеспечивает приемлемую достоверность результатов, но при условии сохранения в перспективе тенденции развития исследуемого явления. Ведь оценка риска, в первую очередь, нужна для прогнозирования его значения в будущем.

На практике для измерения риска статистическим методом чаще всего используются вероятность и показатели вариации. Вероятность удобна тогда, когда под риском понимается вероятность неудачи (или удачи). В этом случае величиной (уровнем) риска является вероятность того, что полученный результат окажется меньше (или больше) ожидаемого:

где R — уровень риска;

p — вероятность наступления рискового события; x и X_o — фактически полученный и ожидаемый результат соответственно. Чем выше вероятность, тем больше риск. Данный метод требует знания закона распределения вероятности. Объективный способ определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой тот или иной результат был получен в аналогичных условиях:

где m — число исходов (результатов), благоприятствующих рисковому событию;

N — общее число исходов (наблюдаемых результатов).

При отсутствии информации, достаточной для объективной оценки, прибегают к субъективному способу определения вероятности, основанному на личном опыте экспертов.

Наряду с вероятностью для измерения риска используются взаимосвязанные между собой показатели вариации:

• дисперсия.

• • среднеквадратическое отклонение
• • коэффициент вариации

где R — уровень риска;

а², а V — соответственно дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации наблюдаемого результата;

X_i — полученные в ходе наблюдения результаты, i = 1, n;

X — выборочная средняя наблюдаемого результата;

n — объем выборки (число наблюдений).

Показатели вариации характеризуют рассеяние (колеблемость, изменчивость) результата вокруг своего среднего значения. Чем больше величина этого показателя, тем выше рассеяние и больше риск.

Традиционный подход к измерению риска с помощью показателей вариации имеет существенный недостаток. Он заключается в том, что показатели вариации характеризуют колеблемость получаемого результата в среднем и не учитывают динамику его поведения.

Для подтверждения сказанного обратимся к рис. 1, на котором показаны возможные варианты Xi (t) и X2 (t) поведения результата во времени. Оба варианта имеют одно и то же среднее значение. Дисперсии у них также одинаковы, однако характер поведения функций Xi (t) и X2 (t) резко отличается.

Рис. 1. Поведение наблюдаемого показателя (результата во времени).

Функция Xi (t) плавно изменяется во времени. Если, например, в точке ti функция Xi (t) приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что в рядом лежащей точке 12 она также примет значение больше среднего.

Напротив, функция X2 (t) отличается резкими беспорядочными отклонениями от среднего. Значения результата, описываемого функцией X2 (t), менее предсказуемы.

Очевидно, что риск, связанный с получением результата вида X₂ (t), гораздо выше, хотя показатели вариации оценивают рассматриваемые риски одинаково. Следовательно, традиционный подход к измерению статистического риска несовершенен.

Решить проблему можно, если воспользоваться спектральным подходом к исследованию и измерению статистического риска [2; 4]. Его суть состоит в изучении энергетического спектра так называемого сигнала риска [i].

В качестве сигнала риска, несущего, как и положено сигналу, сообщение (информацию) о риске, может служить отклонение наблюдаемого показателя (результата) от среднего ожидаемого значения (математического ожидания). Неопределенность и порождаемый ею риск являются причиной такого отклонения.

Рассматриваемое отклонение — случайная величина. Совокупность же отклонений, наблюдаемых в течение определённого промежутка времени, есть случайная функция (или случайный процесс). Изображённые на рис. i случайные функции Xi (t) и X2 (t) могут служить иллюстрацией сигнала риска.

Математически сигнал риска можно записать в виде [i].

где s (t) — сигнал риска;

X (t) и X₀ (t) — фактически полученный и ожидаемый результаты соответственно.

Характер отклонений (поведение сигнала риска во времени) обусловливает степень риска. Резким отклонениям сигнала риска соответствует большая неопределенность (непредсказуемость) получаемых результатов, а значит, и больший уровень риска.

статистический риск показатель сигнал Итак, мы приходим к выводу, что сигнал риска, его поведение, несёт информацию о риске. Исследуя сигнал риска, мы изучаем и сам риск, формируем суждение о риске и его свойствах.

Поведение сигнала риска зависит от его внутренней структуры и определяется частотным, или энергетическим спектром [5].

Энергетический спектр сигнала риска характеризует распределение дисперсии (средней мощности) сигнала риска по частотам или, если быть более точным, — плотность, с которой дисперсии (средние мощности) отдельных гармоник сигнала риска распределяются по спектру частот (рис. 2). Энергетический спектр F (ю) можно также назвать спектральной плотностью дисперсии или средней мощностью сигнала риска.

Рис. 2. Спектральная плотность Fs (m) распределения дисперсии сигнала риска.

Площадь, ограниченная кривой F_s (o>), равна дисперсии сигнала риска:

Формула (7) характеризует разложение дисперсии а2 на сумму элементарных слагаемых F_s^) dю, каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот dю, прилежащий к частоте ю (рис.2).

Таким образом, поведение сигнала риска во временной области определяется его частотным спектром. Каждая гармоника такого спектра имеет свою среднюю мощность. Мощность всех спектральных составляющих равна дисперсии сигнала риска.

Интеграл от спектральной плотности в пределах определенной области частот называется спектральной функцией. Она представляет собой суммарную дисперсию (среднюю мощность) гармоник всех частот рассматриваемой полосы. Спектральная функция, вычисленная для всего диапазона частот, есть не что иное, как дисперсия сигнала риска.

Спектральное разложение сигнала риска позволяет судить о вкладе той или иной составляющей энергетического спектра в общую дисперсию, а значит, об их вкладе в величину самого риска. Состав спектральных составляющих характеризует уровень риска. Так, например, высокочастотные гармоники энергетического спектра отвечают за резкие изменения сигнала риска.

Теперь становится понятным, почему дисперсия — суммарная средняя мощность всех спектральных составляющих энергетического спектра сигнала риска, равно как и другие производные от неё показатели вариации, не могут служить в качестве оценки риска. Ведь они характеризуют лишь среднюю мощность риска (сигнала риска).

Случайный процесс, имеющий равномерный энергетический спектр в рассматриваемом диапазоне частот, называется белым шумом (полосовым белым шумом) [5]. Белый шум обладает неограниченно большой средней мощностью — его дисперсия бесконечно велика. Значения белого шума в несовпадающие моменты времени некоррелированы, то есть его уровень за промежуток времени т, каким бы малым он ни был, может измениться на любую величину. В силу этого поведение белого шума во времени обладает максимальной неопределенностью и прогнозирование такого случайного процесса связано с максимальным риском.

Чем ближе энергетический спектр сигнала риска к белому шуму, тем выше риск получения неточных оценок наблюдаемого результата. Поэтому, чтобы получить объективную оценку риска, независимую от природы его происхождения, предлагается сравнивать энергетический спектр исследуемого риска (точнее — сигнала риска) с энергетическим спектром белого шума. Другими словами, необходимо ввести показатель уровня риска, сравнивающий форму энергетического спектра двух случайных функций: сигнала риска и белого шума.

Как мы уже отмечали, максимальным риском обладает абстрактная модель случайного процесса в виде белого шума. Если принять уровень риска белого шума за базовый и присвоить ему значение, равное i00 % (или единице), то для любого другого случайного процесса величина риска будет меньше:

где R_b и R — уровень риска белого шума и изучаемого случайного процесса соответственно.

Различия в уровне риска обусловлены видом энергетического спектра. Поэтому, чтобы оценить риск, предлагается сравнивать формы энергетического спектра сигнала риска F_s (o) и белого шума F_b (o) в заданной полосе частот Аю_е (рис.3).

Рис. 3. Энергетические спектры сигнала риска F (ю) и белого шума F_b (m).

Величину риска, например, можно определить с помощью коэффициента риска, который представляет относительную величину, полученную в результате сравнения показателей формы энергетического спектра сигнала риска и белого шума:

где R — уровень риска;

M-s и M-_b — показатель формы (второй центральный момент M₂) кривой энергетического спектра сигнала риска и белого шума соответственно.

Уровень риска, рассчитанный по формуле (i0), будет находиться в диапазоне от 0 до i00%. При этом верхний предел соответствует гипотетическому сигналу риска в виде белого шума.

Чем больше величина коэффициента риска R, тем выше риск получения неточных оценок или прогнозирования получаемого результата. Свойство, связанное с неточностью оценки наблюдаемой характеристики (или параметра) исследуемого процесса, будем называть рискованностью [4]. Рискованность присуща любому случайному процессу и является его объективной характеристикой.

Следует различать понятия рискованность и риск. Они имеют различное толкование. Термин риск учитывает не только рискованность, характеризующую объективную сторону любого риска, но и субъективный фактор — отношение (склонность) к риску лица, принимающего решение. То же можно сказать и об уровне риска. Если же субъективный фактор не учитывать, то уровень риска совпадает с уровнем рискованности.

Спектральный подход к исследованию статистических рисков в отечественной и зарубежной литературе до сих пор не рассматривался. В отличие от традиционного подхода, основанного на вычислении показателей вариации, он учитывает «внутреннюю структуру» риска, распределение «мощности» риска по частотным составляющим, а значит, более точен. Спектральный метод позволяет сравнивать между собой риски независимо от природы их происхождения, используя в качестве эталонного риска математическую абстракцию в виде белого шума. Для изучения рисков в данном случае можно применить хорошо разработанный математический аппарат теории случайных функций.

Исследование риска, в соответствии с предлагаемой концепцией, связано с изучением сигнала риска и его энергетического спектра. Уровень риска зависит от формы «его» энергетического спектра. Для группы рисков разной природы, имеющих примерно одинаковый энергетический спектр, величина риска будет одна и та же. Поэтому вид энергетического спектра можно использовать в качестве классификационного признака для создания универсальной системы классификации статистических рисков [6].

Спектральный подход к исследованию риска позволяет получить объективную количественную оценку статистического риска. Для этого необходимо:

сформировать базу статистических данных для того показателя, получение которого связано с оцениваемым риском;

оценить математическое ожидание наблюдаемого показателя;

создать базу данных из отклонений полученных результатов относительно математического ожидания, то есть сформировать сигнал риска;

построить корреляционную функцию сигнала риска и проверить выполнение условия стационарности и эргодичности: с ростом промежутка между наблюдаемыми значениями корреляционная функция должна стремиться к нулю. Для большинства встречающихся на практике случаев это условие будет выполняться, так как с увеличением временного промежутка результаты наблюдения, как правило, становятся слабо коррелированными между собой;

определить энергетический спектр сигнала риска;

оценить форму энергетического спектра сигнала риска по сравнению с белым шумом и рассчитать показатель, характеризующий уровень риска.

Отметим, что спектральный подход позволяет измерять риски в режиме реального времени, а также осуществлять их краткосрочное прогнозирование. Прогноз возможен в пределах интервала корреляции, то есть в пределах, где еще наблюдается корреляционная связь между значениями получаемого результата. Для прогнозирования риска хорошо подходит метод наибольшего правдоподобия [7], в основе которого лежит определение наиболее вероятного значения получаемого результата.

Непрерывная оценка риска и его прогнозирование имеет решающее значение для организации процесса управления риском, например управления по отклонению [8]. При таком управлении используется информация об управляемой величине (уровне риска) и задающем воздействии (приемлемом уровне риска). Сначала измеряется величина риска, а потом это значение сравнивается с заданным уровнем и при наличии разницы (сигнала рассогласования) вырабатывается управляющее воздействие. Система управления стремится компенсировать отклонение независимо от причин, его вызвавших.

Предвидение (предсказание) уровня риска позволит значительно улучшить точность и быстродействие системы управления, т. е. начать компенсацию внешнего возмущения, приводящего к росту риска, раньше, чем возникнет достаточно большое отклонение (система управления с упреждением).

Проведенные исследования показали:

• — информацию о риске содержит сигнал риска;
• — исследуя сигнал риска, мы изучаем сам риск;
• — показатели вариации оценивают риск «в среднем» и непригодны для организации процесса управления;
• — поведение риска во времени определяется энергетическим спектром сигнала риска;
• — вид энергетического спектра может служить классификационным признаком для создания универсальной системы классификации статистических рисков; объективная оценка риска может быть построена на сравнении формы энергетического спектра сигнала риска и белого шума;
• — спектральный подход позволяет использовать для исследования рисков хорошо разработанный математический аппарат теории случайных функций;
• — спектральный метод оценки рисков позволяет непрерывно отслеживать текущее и определять прогнозное значение риска и построить систему управления риском с упреждением;
• — спектральная теория рисков является мощным инструментом для изучения статистических рисков.

• 1. Матвеев, Б. А. Понятие сигнала риска и математический аппарат для его изучения / Б. А. Матвеев // Стратегическое управление ресурсами предприятия: сб. ст. Междунар. науч.-практ. конф. Челябинск: ЮУрГУ, 2003. С. 347−351.
• 2. Матвеев, Б. А. Методы измерения статистических рисков / Б. А. Матвеев // Проблемы формирования информации о деятельности экономических субъектов: сб. ст. участников II Всерос. науч.-практ. конф., 7−9 февр. 2007 г. Челябинск: ЮУрГУ, 2007. С. 119−126.
• 3. Малашихина, Н.Н. Риск-менеджмент / Н. Н. Малашихина, О. С. Белокрылова. Ростов н/Д: Феникс, 2004.320 с.
• 4. Матвеев, Б. А. Спектральный метод оценки величины риска / Б. А. Матвеев, Б. Б. Матвеев // Вестн. ЧГАУ. 2004. Т. 43. С. 122−124.
• 5. Зиновьев, А.Л.

  Введение

  в теорию сигналов и цепей / А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. М.: Изд-во МГУ, 1968.280 с.

• 6. Матвеев, Б. А. Универсальная система классификации рисков / Б. А. Матвеев // Вестн. ЧГАУ. 2005. Т.46. С.147−149.
• 7. Баев, Л. А. Статистический метод прогнозирования урожайности / Л. А. Баев, Б. А. Матвеев, Б. Б. Матвеев // Россия и регионы: взаимодействие гражданского общества, бизнеса и власти: материалы XXI Междунар. науч.-практ. конф., 15−16 апр. 2004 г. Челябинск: Урал. соц.-экон. ин-т АТиСО, 2004. Ч. V. С. 127−130.
• 8. Системный анализ и принятие решений: слов. — справ.: учеб. пособие / под ред. В. Н. Волковой, В. Н. Козлова. М.: Высш. шк., 2004.616 с.