Мысленный эксперимент. 
Падение двух тел разной массы

Мысленный эксперимент в физике, философии и некоторых других областях знания — вид познавательной деятельности, в которой ключевая для той или иной научной теории ситуация разыгрывается не в реальном эксперименте, а в воображении. Мысленный эксперимент в физике зачастую напоминает доказательство теоремы методом от противного в математике, когда некоторое положение физической модели или схемы сначала отвергается, а затем путём преобразования модели мы приходим к противоречию с тем или иным принципом, который считается безусловно истинным. Например, с принципом отсутствия достаточного основания в ситуации зеркальной или какой-либо иной геометрической симметрии, принципом галилеевской инвариантности, принципом невозможности вечного двигателя, принцип невозможности вечного двигателя второго рода, принципом причинности и т. д.

История механики в Новое время начинается с нескольких классических мысленных экспериментов Галилея. Это мысленный эксперимент с комнатой на корабле (находясь в комнате на корабле, мы никакими способами не можем установить, движется ли корабль или стоит на месте); мысленный эксперимент с падающими телами (если тяжёлое тело, А падает быстрее лёгкого тела Б, как это считает Аристотель, то как будет падать тело, составленное из двух этих тел Лёгкое тело должно тормозить тяжёлое, поэтому тело А+Б будет отставать от тела А. Но с другой стороны, тело А+Б тяжелее тела A, поэтому оно будет обгонять его: противоречие); мысленные эксперименты с маятником и так называемыми «горками Галилея». Яркие мысленные эксперименты в механике были изобретены Симоном Стевином и Христианом Гюйгенсом. Но следует отметить, что порой легко ошибиться в мысленных экспериментах, ибо строя мысленную модель, крайне легко опустить значимые факторы. Так например: в вакууме при одинаковой гравитации тела А, Б и А+Б упадут с одинаковой скоростью (вне зависимости от объёма), но если же мы берём модель с атмосферой, то её надо учитывать (и потому надо учитывать и объём тел), и в итоге получится, что, А будет падать быстрее всех, затем А+Б и последним Б (по уменьшению соотношения масса/объём, а точнее сопротивление воздуху, хотя опять же упрощение, что нет разницы, как расположить тела А+Б относительно друг друга).

Богата мысленными экспериментами и история термодинамики, начинающаяся с работы Сади Карно Рассуждения о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу. В этом трактате были рассмотрены мысленные эксперименты с идеальной тепловой машиной Карно, в которых было показано, что максимальный КПД тепловой машины не зависит от используемого в ней рабочего вещества и определяется только температурами нагревателя и холодильника. Известны также мысленные эксперименты Густава Кирхгофа и Вильгельма Вина, связанные с термодинамикой излучения.

В некоторых случаях мысленный эксперимент обнаруживает противоречия теории и «обыденного сознания», что далеко не всегда является свидетельством неверности теории. Так, знаменитый парадокс близнецов является, в сущности, мысленным экспериментом, демонстрирующим неприменимость «обыденного сознания» в релятивистской физике. Апории Зенона («Стадион», «Ахиллес и черепаха», «Стрела») также являются мысленными экспериментами, демонстрирующими логическую противоречивость представлений о дискретности пространства и времени.

Для примера рассмотрим свободное падение двух тел различной массы. Их ускорения относительно поверхности Земли будут:

g1 = a1+ a31; g2 = a2+ a32, (1).

где: — g1 и g2 — ускорения первого и второго тела вычисленного относительно поверхности Земли;

• — a1 и a2 — ускорения первого и второго тела, которые определены для движения по отношению к инерциальной системе отсчета;
• — a31 и a32 — ускорения Земли по отношению к инерциальной системе отсчета при притяжении первым и вторым телом соответственно.

Силы, действующие между планетой и каждым из тел, вычисляются по закону всемирного тяготения. В этом случае для двух различных по массе тел можно записать:

F31 = GMm1/R2; F32 = GMm2/R2. (2).

Используя второй закон Ньютона, найдем величину ускорения, с которым первое тело будет падать на Землю и ускорение Земли притягиваемой этим телом относительно инерциальной системы координат:

a1 = F31/m2 = GMm1/R2 * (1/m1)=GM/R2; (3).

a31 = F31/M = GMm1/R2 * (1/M) = Gm1/R2. (4).

Подставляя значения ускорений полученных в (3) и (4) в формулу (1), получим значение величины ускорения первого тела относительно поверхности Земли:

g1= a1+ a31= GM/R2+ Gm1/R2= G (M+m1)/R2 (5).

Аналогично вычисляя, получим значение величины ускорения второго тела относительно земной поверхности:

g2= a2 + a32= GM/R2+ Gm2/R2=G (M+m2)/R2 (6).

Условие равенства ускорений падения тел на земную поверхность при наличии у них различной массы проверим разностью левых и правых частей выражений (5) и (6):

g1 — g2 = G (M+m1)/R2- G (M+m2)/R2=G[m1-m2]/R2 (7).

Как видно из (7), разность ускорений падения тел на Землю может быть равна нулю только при равенстве масс падающих тел или на бесконечном удалении от Центра планеты, когда R стремится к бесконечности, а величина ускорения каждого из тел приобретает нулевое значение, соответственно и их разности также будут нулевыми.

Во всех наших рассуждениях кроется простой физический смысл. Тело большей массы сильнее притягивает Землю, чем тело меньшей массы. Ускорение, с которым двигаются навстречу друг другу тело и планета состоит из суммы ускорений падения тела на планету и падения планеты на тело, что отражено в формулах (5) и (6). Это определяет различие в падении тел на Землю. Однако разница ускорений в величинах практически наблюдаемых падений тел настолько мала, что имеющимися в настоящее время методами измерений экспериментально ее определить невозможно. Так, поставляя в (7) значение разности масс падающих тел в 1000 кг, значение гравитационной постоянной (6,670*10−11 м3кг-1сек-2) и среднего радиуса Земли (6370 000 м), получим величину 1,678…*10−21 м сек-2. Сравнивая полученное значение разности ускорений с величиной ускорения свободного падения 9,81 м сек-2, можно считать ее пренебрежительно малой величины и практически в расчетах не учитывать.

Таким образом, можно считать, что высказывание Аристотеля о том, что тяжелые тела падают на Землю быстрее легких, соответствует истине. Это также показывает формула (19) в статье «Уточнение закона тяготения Ньютона» [2], где величина первого сомножителя ее средней части, являющегося относительным ускорением взаимодействующих тел, прямо зависит от суммы их масс. Однако и открытое Галилеем свойство падения тел различной массы с одинаковым ускорением практически также верно, так как имеющиеся различия в падении тел разной массы, но значительно меньшей, чем масса самой планеты, настолько малы, что в практических расчетах их нет необходимости учитывать. Кроме этого, если для любого тела входящего в состав массы самой Земли определить ускорение свободного падения, и сравнить его с ускорением свободного падения другого тела, также входящего в состав массы Земли, то независимо от величин масс этих тел, все они будут падать с одинаковым ускорением. Действительно, сумма масс притягиваемого тела и оставшаяся величина массы планеты в этом случае, всегда будут равны массе всей Земли. Подставляя это значение в (5), получим:

g1= G [(M-m1) + m1] = GM/R2. (8).

Для тела другой массы:

g2= G [(M — m2) + m2] = GM/R2. (9).

Вычисляя разницу ускорений свободного падения тел для таких случаев, получим:

g1- g2 = GM/R2- GM/R2= 0. (10).

Формула (10) показывает, что различия в ускорениях свободного падения нет. Иными словами можно сказать, что все тела, взятые из состава Земли, падают (возвращаются) на планету с одинаковым ускорением свободного падения независимо от величины их массы. Поэтому, в таких условиях взаимодействия тел различной массы с планетой высказывание Галилея об одинаковом ускорении их свободного падения становится истинным. Для тел внешнего происхождения, падающих на Землю, истинным является высказывание Аристотеля о том, что более тяжелые тела падают на Землю с большим ускорением, чем более легкие, о чем свидетельствует формула (7).

Проведенный анализ говорит, что в вопросах, составляющих основы классической механики и уже давно считающихся разрешенными, в настоящее время еще есть некоторые понятия, не совсем точно описывающие реальный мир и процессы, происходящие в нем. Это, на первый взгляд незначительная неточность, может приводить к большим погрешностям в научных теориях, которые используют принцип тяготения в более глубоком описании явлений окружающего нас мира. Так, возникает вопрос, а верен ли принцип эквивалентности, на который опирается в своем построении общая теория относительности Эйнштейна.